《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 2】（2025·河北保定市联考）
具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动主动刹车。某汽车以 $72km/h$ 的速度匀速行驶时，前方 $45m$ 处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊通过道路前 $5m$ 处停车。求：
(1) 汽车在刹车后 $2s$ 内和刹车后 $5s$ 内的位移大小；
(2) 汽车开始“主动刹车”后第 $4s$ 内通过的位移大小。30 m40 m2.5 m

答案： 例2
(1)$30\ m$ $40\ m$
(2)$2.5\ m$
解析
(1)依题意，汽车做匀减速直线运动，其位移为$x = 45\ m - 5\ m = 40\ m$，初速度$v_{0}=72\ km/h = 20\ m/s$，
设加速度大小为$a$，则有$0 - v_{0}^{2} = -2ax$，解得$a = 5\ m/s^{2}$，汽车的刹车时间为$t_{刹}=\frac{v_{0}}{a}=4\ s$，刹车后$5\ s$汽车已停止，故刹车后$5\ s$内的位移大小等于刹车位移$40\ m$，刹车后$2\ s$内位移$x = v_{0}t - \frac{1}{2}at^{2}=30\ m$
(2)由“逆向思维”可知汽车开始“主动刹车”后第$4\ s$内通过的位移大小为反方向做匀加速直线运动第$1\ s$内的位移大小，即$x'=\frac{1}{2}at'^{2}=2.5\ m$。

【例 3】(多选)
如图，在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以大小为 $10m/s$ 的初速度 $v_0$ 沿斜面向上运动，物体的加速度大小始终为 $5m/s^2$、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为 $7.5m$ 时，下列说法正确的是(ABC)

A. 物体运动时间可能为 $1s$
B. 物体运动时间可能为 $3s$
C. 物体运动时间可能为 $(2 + \sqrt{7})s$
D. 物体此时的速度大小一定为 $5m/s$
拓展
在例 3 中，若不求运动时间，如何求出物体此时的速度？
思考
(1) 刹车类问题有什么特点，解题时首先应该注意什么？
(2) 双向可逆类匀减速直线运动有什么特点，解题时应该注意什么？

答案： 例3 ABC 以沿斜面向上为正方向，
则$a = -5\ m/s^{2}$，当物体的位移为沿斜面向上$7.5\ m$时，$x = 7.5\ m$，由运动学公式$x = v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$，解得$t_{1}=3\ s$或$t_{2}=1\ s$，故A、B正确；当物体的位移为沿斜面向下$7.5\ m$时，$x = -7.5\ m$，由$x = v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$，解得$t_{3}=(2+\sqrt{7})\ s$或$t_{4}=(2 - \sqrt{7})\ s$（舍去），故C正确；由速度时间公式$v = v_{0}+at$，解得$v_{1}=-5\ m/s$、$v_{2}=5\ m/s$、$v_{3}=-5\sqrt{7}\ m/s$，故D错误。
拓展 以沿斜面向上为正方向，则$a = -5\ m/s^{2}$，$v_{0}=10\ m/s$，当物体的位移沿斜面向上$7.5\ m$时，$x = 7.5\ m$，由$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$，解得$v_{1}=5\ m/s$或$v_{2}=-5\ m/s$；当物体的位移沿斜面向下$7.5\ m$时，$x = -7.5\ m$，由$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$，解得$v_{3}=-5\sqrt{7}\ m/s$或$v_{4}=5\sqrt{7}\ m/s$（舍去）。
思考
(1)刹车类问题的特点：物体匀减速到速度为零后停止运动。解题时，判断在所求问题的时间内，物体是否已经停止。
(2)如沿光滑固定斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变。
解题时可分过程列式，也可对全过程列式，但必须注意$x$、$v$、$a$等矢量的正负号及物理意义，物体的运动可能出现多解。

1. 匀变速直线运动的常用推论
(1) 平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。即：$\overline{v} = \frac{v_0 + v}{2} = v_{\frac{t}{2}}$。此公式可以求某时刻的瞬时速度。
(2) 位移差公式：连续相等的相邻时间间隔 $T$ 内的位移差相等。
即：$\Delta x = x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \cdots = x_n - x_{n - 1} = aT^2$。
不相邻相等的时间间隔 $T$ 内的位移差 $x_m - x_n = (m - n)aT^2$，此公式可以求加速度。

答案： （由于无具体问题，此题无对应选项答案）

2. 初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
(1) $T$ 末、$2T$ 末、$3T$ 末、$\cdots$、$nT$ 末的瞬时速度之比为 $v_1 : v_2 : v_3 : \cdots : v_n = 1 : 2 : 3 : \cdots : n$。
(2) 前 $T$ 内、前 $2T$ 内、前 $3T$ 内、$\cdots$、前 $nT$ 内的位移之比为 $x_1 : x_2 : x_3 : \cdots : x_n = 1 : 4 : 9 : \cdots : n^2$。
(3) 第 $1$ 个 $T$ 内、第 $2$ 个 $T$ 内、第 $3$ 个 $T$ 内、$\cdots$、第 $n$ 个 $T$ 内的位移之比为 $x_{Ⅰ} : x_{Ⅱ} : x_{Ⅲ} : \cdots : x_{N} = 1 : 3 : 5 : \cdots : (2n - 1)$。
(4) 从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 $t_1 : t_2 : t_3 : \cdots : t_n = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2}) : \cdots : (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})$。

答案： 上述四个比例式均正确，推导过程如上。