《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 3】
（2024·黑吉辽·15）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为$L$，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于$x$轴，$O$为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为$+q$，质量均为$m$的粒子。如图，甲、乙平行于$x$轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为$\frac{3}{2}v_{0}$和$v_{0}$。甲到$P$点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅱ区的速度偏转角为$30^{\circ}$，甲到$O$点时，乙恰好到$P$点。已知Ⅲ区存在沿$+x$方向的匀强电场，电场强度大小$E_{0}=\frac{9mv_{0}^{2}}{4\pi qL}$。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
1. 求磁感应强度的大小$B$；
2. 求Ⅲ区宽度$d$；
3. Ⅳ区$x$轴上的电场方向沿$x$轴，电场强度$E$随时间$t$、位置坐标$x$的变化关系为$E=\omega t - kx$，其中常系数$\omega\gt0$，$\omega$已知、$k$未知，取甲经过$O$点时$t = 0$。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为$F$，甲、乙间距为$\Delta x$，求乙追上甲前$F$与$\Delta x$间的关系式（不要求写出$\Delta x$的取值范围）。F=$\frac{q\omega}{3v_{0}}\cdot\Delta x$

答案：
例3　
(1)$\frac{mv_{0}}{2qL}$　
(2)$\frac{3}{2}πL$
(3)F=$\frac{q\omega}{3v_{0}}\cdot\Delta x$
解析　
(1)对乙粒子，如图所示
由洛伦兹力提供向心力$qv_{0}B=m\frac{v_{0}^{2}}{R_{1}}$
由几何关系sin30°=$\frac{L}{R_{1}}$
联立解得磁感应强度的大小为B=$\frac{mv_{0}}{2qL}$
(2)由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为$t_{1}$=2×$\frac{30}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πL}{3v_{0}}$
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P点到O点，
由运动学公式d=$\frac{3}{2}$$v_{0}$$t_{1}$+$\frac{1}{2}$$at_{1}^{2}$
由牛顿第二定律a=$\frac{qE_{0}}{m}$=$\frac{9v_{0}^{2}}{4πL}$
联立可得Ⅲ区宽度为d=$\frac{3}{2}$πL
(3)甲粒子经过O点时的速度为
$v_{甲}$=$\frac{3}{2}$$v_{0}$+$at_{1}$=3$v_{0}$
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则E=0，
即ωt=kx=k×3$v_{0}$t
可得k=$\frac{\omega}{3v_{0}}$
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为$t_{2}$，乙粒子在Ⅳ区运动时间为$t_{0}$，则t=$t_{0}$+$t_{2}$
对乙可得$\frac{F}{q}$=ω($t_{0}$+$t_{2}$)−k$x_{2}$
整理可得$x_{2}$=3$v_{0}$($t_{0}$+$t_{2}$)−$\frac{3v_{0}F}{q\omega}$
对甲可得$x_{1}$=3$v_{0}$($t_{0}$+$t_{2}$)
则$\Delta x$=$x_{1}$−$x_{2}$=$\frac{3v_{0}F}{q\omega}$
化简可得乙追上甲前F与$\Delta x$间的关系式为F=$\frac{q\omega}{3v_{0}}\cdot\Delta x$