《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1.机械能守恒定律表达式

说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。

答案： 守恒观点：$E_1 = E_2$（选参考平面）；转化观点：$\Delta E_k=-\Delta E_p$（不选参考平面）

2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤

答案： （此题为解答题步骤总结，无选择题选项）

【例2】如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c，三枚钉子构成边长$d=10{cm}$的等边三角形，其中钉子a、b的连线沿着竖直方向。长为$L=0.3{m}$的细线一端固定在钉子a上，另一端系着质量$m=200{g}$的小球，细线水平拉直，然后将小球以$v_0=\sqrt3 {m/s}$的初速度竖直向下抛出，小球可视为质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度$g$取$10{m/s^2}$，细线碰到钉子c后，小球到达最高点时，细线拉力大小为()
A.0 B.1 N C.2 N D.3 N
拓展若细线拉直时与水平方向夹角为$30°$指向斜左上方，然后将小球仍以$v_0=\sqrt3 {m/s}$的初速度竖直向下抛出。
(1)小球在以后的运动过程中机械能是否守恒?
(2)小球能否到达上述例题中的最高点？如果能，求出到达最高点时细线拉力的大小。

答案： 例2　C　[设小球到达最高点时速度大小为$v$，以初始位置所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv^{2}+mgh$
$h = L - d - \frac{d}{2}=L-\frac{5}{2}d$
代入数据联立解得$v = \sqrt{2} m/s$，小球在最高点时根据牛顿第二定律有$F + mg = \frac{mv^{2}}{L - 2d}$，解得细线拉力大小为$F = 2 N$，故选C。]
拓展　
(1)见解析　
(2)能　3.5N
解析　
(1)细线绷直的瞬间，小球机械能不守恒，其余过程小球机械能守恒。
(2)从释放点到细线恰好伸直时，对小球由机械能守恒定律得$mgL = \frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，解得$v_{1} = 3 m/s$。细线绷直时沿细线方向的速度突变为零，小球只剩下沿细线切线方向的速度，从细线绷直到最高点，对小球由机械能守恒定律得$mg(L\sin 30^{\circ}+L - \frac{5}{2}d)=\frac{1}{2}m(v_{1}\cos 30^{\circ})^{2}-\frac{1}{2}mv_{2}^{2}$，解得$v_{2} = \frac{\sqrt{11}}{2} m/s$，因$v_{2} ＞ \sqrt{g(L - 2d)} = 1 m/s$，故小球能到达最高点。在最高点，对小球：$T + mg = \frac{mv_{2}^{2}}{L - 2d}$，解得$T = 3.5 N$。

【例3】(2024·全国甲卷·17)

如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为$m$的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经$Q$点自由下滑至其底部，$Q$为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(C)

A.在$Q$点最大
B.在$Q$点最小
C.先减小后增大
D.先增大后减小

答案：
例3　C　[方法一(分析法)：设大圆环半径为$R$，小环在大圆环上某处$(P$点)与圆环的作用力恰好为零，此时只有小环的重力分力提供小环所需向心力，可知$P$点必在$Q$点上方，如图所示

设$P$点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为$\theta$，从大圆环顶端到$P$点过程，根据机械能守恒定律$mgR(1 - \cos\theta)=\frac{1}{2}mv^{2}$
在$P$点，由牛顿第二定律得$mg\cos\theta = m\frac{v^{2}}{R}$
联立解得$\cos\theta = \frac{2}{3}$
从大圆环顶端到$P$点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从$P$点到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从$P$点到$Q$点，小环重力沿大圆环直径的分力逐渐减小，从$Q$点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二(数学法)：设大圆环半径为$R$，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹角为$\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$，根据机械能守恒定律得$mgR(1 - \cos\theta)=\frac{1}{2}mv^{2}(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$
在该处根据牛顿第二定律得$F + mg\cos\theta = m\frac{v^{2}}{R}(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$
联立可得$F = 2mg - 3mg\cos\theta$
则大圆环对小环作用力的大小为$|F| = |2mg - 3mg\cos\theta|$
根据数学知识可知$|F|$的大小在$\cos\theta = \frac{2}{3}$时最小，
由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。]

1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用$\Delta E_{\rm k}=-\Delta E_{\rm p}$或$\Delta E_{\rm A}=-\Delta E_{\rm B}$的形式。

答案： （此题为解答指导，无选择题选项，故填“无”）无

2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景

注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景

①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由$v=\omega r$知，$v$与$r$成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)

两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。

答案： 上述情景分析要点为速率相等时v_A=v_B、角速度相等时v∝r、关联速度时沿绳分速度相等，结合高度变化列机械能守恒方程。