《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

试画出下图中几种典型电场的 $\varphi - x$ 图像（以无穷远处电势为零）。
（1）点电荷的 $\varphi - x$ 图像；

（2）两等量异种点电荷连线上的 $\varphi - x$ 图像；

（3）两个等量正点电荷的 $\varphi - x$ 图像。

答案： （1）正点电荷：以电荷位置为原点O，x轴正负方向上，φ均从正无穷（靠近O）单调减小至0，曲线关于原点对称（双曲线分支）。
负点电荷：以电荷位置为原点O，x轴正负方向上，φ均从负无穷（靠近O）单调增大至0，曲线关于原点对称（双曲线分支）。
（2）两等量异种点电荷连线上：从正电荷一侧φ趋近正无穷，向右单调减小，经连线中点（φ=0）后继续单调减小至负电荷一侧φ趋近负无穷，曲线为单调递减曲线，过中点时φ=0。
（3）两等量正点电荷连线上：以连线中点O为中心，左右两侧（靠近两电荷处）φ趋近正无穷，向O点φ减小，O点为最小值，图像呈“U”形（两端无穷大，中间低谷）。
两等量正点电荷连线中垂线上：以中点O为原点，x轴为中垂线，φ在O点最大，沿x轴正负方向φ逐渐减小至0，图像为关于φ轴对称的开口向下曲线，顶点在O点。

【例2】
(2025·辽宁鞍山市一模)$x$ 轴上有两点电荷 $Q_1$ 和 $Q_2$，$Q_1$ 和 $Q_2$ 连线上各点对应的电势 $\varphi$ 的高低如图中曲线所示($OB ＞ BD$)，则由图中给出的信息可知下列说法正确的是(C)

A. $Q_1$ 和 $Q_2$ 电荷量可能相等
B. $B$ 点的电场强度为零
C. $Q_1$ 和 $Q_2$ 连线上各点的电场方向都相同
D. 电子在 $C$ 点的电势能大于电子在 $A$ 点的电势能

答案： 例2 C [$\varphi -x$图线切线的斜率的斜率表示电场强度，B点的斜率不为0，所以B点的电场强度不为0，故B错误；由题图可知，离$Q_1$越近电场中的电势越低，由此可以判断$Q_1$为负电荷，同理，由于离$Q_2$越近电势越高，所以$Q_2$为正电荷，在它们的连线上的B点的电势为零，但B点离$Q_2$近，所以$Q_1$的电荷量要大于$Q_2$的电荷量，故A错误；由于$Q_1$为负电荷，$Q_2$为正电荷，所以$Q_1$和$Q_2$连线上各点的电场方向均沿x轴正方向，故C正确；从A点到C点电势升高，负电荷在电势越高处电势能越小，电子在C点的电势能小于电子在A点的电势能，故D错误。]

变式
(八省联考·河南·6)某电场的电势 $\varphi$ 随位置 $x$ 的变化关系如图所示，$O$ 点为坐标原点，$a$、$b$、$c$、$d$ 为 $x$ 轴上的四个点。一带正电粒子从 $d$ 点由静止释放，在电场力作用下沿 $x$ 轴运动，不计重力，则粒子(A)


A.将在 $ad$ 之间做周期性运动
B.在 $d$ 点的电势能大于 $a$ 点的电势能
C.在 $b$ 点与 $c$ 点所受电场力方向相同
D.将沿 $x$ 轴负方向运动，可以到达 $O$ 点

答案： [变式] A [由题图可知，a、d两点电势相等，根据$E_p = q\varphi$可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；$\varphi -x$图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据$F = qE$可知在b点与c点粒子所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，过程中仅有电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能与a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。]

【例4】
(多选)(2024·江苏宿迁市测试)在甲、乙电场中，电场方向均与 $x$ 轴平行，某试探电荷 $-q$($q ＞ 0$)具有的电势能 $E_p$ 沿 $x$ 方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(BD)
A. 图甲中，试探电荷在 $O$ 点受到的静电力为零
B. 图甲中，电场强度沿 $x$ 轴正方向
C. 图乙中，$x_1$ 处的电场强度小于 $x_2$ 处的电场强度
D. 图乙中，$x_1$ 处的电势高于 $x_2$ 处的电势

答案： 例4 BD [根据$E_p -x$图像斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为零，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度方向沿x轴正方向，B正确；题图乙中$x_1$处的斜率大于$x_2$处的斜率，即$F_{x1} ＞ F_{x2}$，故$E_{x1} ＞ E_{x2}$，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中$\varphi_{x1} ＞ \varphi_{x2}$，D正确。]