《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例5】(2025·河北张家口市段考)如图所示，一小球从一半圆轨道左端$A$点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于$B$点，$O$为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为$R$，$OB$与水平方向的夹角为$60^{\circ}$，重力加速度为$g$，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(A)


A.$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$
B.$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$
C.$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{2}}$
D.$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$

答案： 例5　A　[小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于$B$点，可知小球运动到$B$点时速度方向与水平方向的夹角为$30°$，设位移方向与水平方向的夹角为$\theta$，则$\tan\theta = \frac{\tan 30°}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，由$\tan\theta = \frac{y}{x}$，可得竖直方向的位移$y = \frac{3}{2}R$，而$v_y^2 = 2gy$，$\tan 30° = \frac{v_y}{v_0}$，联立解得$v_0 = \sqrt{\frac{3\sqrt{3}gR}{2}}$，选项A正确，B、C、D错误。]

【例6】(来自人教教材改编)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台$A$处沿水平方向以大小为$20m/s$的速度飞出，落在斜坡上的$B$处，斜坡与水平方向的夹角$\theta$为$37^{\circ}$，不计空气阻力($\sin37^{\circ}=0.6$，$\cos37^{\circ}=0.8$，$g$取$10m/s^2$)，求：

答案： 假设运动员从跳台 $A$ 处水平飞出时的速度为 $v_0 = 20 \, m/s$，落在斜坡上的 $B$ 处。斜坡与水平方向的夹角为 $\theta = 37°$，重力加速度 $g = 10 \, m/s^2$。
设运动员在空中飞行的时间为 $t$，在水平方向和竖直方向的位移分别为 $x$ 和 $y$。
水平方向：
$x = v_0 t = 20t$，
竖直方向：
$y = \frac{1}{2} g t^2 = 5t^2$。
由于 $B$ 点在斜坡上，斜坡的斜率为 $\tan 37° = \frac{3}{4}$，因此有：
$\frac{y}{x} = \tan 37° = \frac{3}{4}$，
代入 $x$ 和 $y$ 的表达式：
$\frac{5t^2}{20t} = \frac{3}{4}$，
简化得：
$\frac{t}{4} = \frac{3}{4} \implies t = 3 \, s$。
运动员在空中飞行的水平距离 $x$ 和竖直距离 $y$ 分别为：
$x = 20 × 3 = 60 \, m$，
$y = 5 × 3^2 = 45 \, m$。
$AB$的距离：
$L = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = 75 \, m$。
所以，蛋白质（本题为求解距离）为$75 \, m$。

1. 运动员在空中飞行的时间；

答案： 1. $3\ s$

2. 运动员落在$B$处时的速度大小；

答案： 2. $10\sqrt{13}\ m/s$

3. 运动员在空中离坡面的最大距离。9 m9 m
拓展

答案： 3. $9\ m$ 解析　
(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为$t$，则有$x = v_0t$，$y = \frac{1}{2}gt^2$，由题图可知$\tan\theta = \frac{y}{x}$，联立解得$t = \frac{2v_0}{g}\tan\theta = 3\ s$。
(2)运动员落在$B$处时有$v_x = v_0$，$v_y = gt$，所以$v_B = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 10\sqrt{13}\ m/s$。
(3)取沿斜坡向下方向（$x$方向）与垂直于斜坡向上方向（$y$方向）分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上的初速度为$v_y' = v_0\sin\theta = 12\ m/s$，加速度为$a_y = -g\cos\theta = -8\ m/s^2$，当垂直于斜坡方向上的速度为0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有$d = \frac{0 - v_y'^2}{2a_y} = 9\ m$。

1. $AB$的距离$l$为多少？75 m

答案： 1.由$x = v_0t$得$x = 60\ m$，$l = \frac{x}{\cos\theta} = 75\ m$。

2. 若运动员从跳台$A$处沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则运动员在空中飞行时间变为原来的多少倍？在斜面上飞行距离变为原来的多少倍？$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{4}$

答案： 2.由
(1)问知$t = \frac{2v_0}{g}\tan\theta$，可知$t \propto v_0$，故在空中飞行时间变为原来的$\frac{1}{2}$。由$l = \frac{x}{\cos\theta} = \frac{v_0t}{\cos\theta} = \frac{2v_0^2\tan\theta}{g\cos\theta}$可知$l \propto v_0^2$，故在斜面上飞行距离变为原来的$\frac{1}{4}$。

3. 初速度改变后，落在斜面上，速度方向与斜面夹角变化吗？不变

答案： 3.落在斜面上时，位移方向相同，由平抛运动的推论可知速度方向相同，故速度方向与斜面夹角不变。

[变式](2024·江苏南通市质监)如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从A点垂直于缓冲坡以速度大小$v_0$为20m/s起跳，最后落在缓冲坡上的B点，轨迹上的C点(图中未画出)与A点等高，已知缓冲坡倾角$\theta = 37^{\circ}，$不计空气阻力。已知$\sin37^{\circ}=0.6，$$\cos37^{\circ}=0.8，$重力加速度g取$10m/s^2。$求：

答案： 答案略

1. 运动员从A点到C点过程中速度变化量的大小；

答案： 1. $32\ m/s$

2. 缓冲坡上A、B两点间的距离；

答案： 2. $75\ m$

3. 运动员落在B点的速度方向与斜面夹角的正切值。$\frac{2}{3}$

答案：
3. $\frac{2}{3}$ 解析　
(1)运动员竖直分速度大小$v_y = v_0\cos 37° = 16\ m/s$，从$A$点到$C$点过程中速度变化量大小为$\Delta v = 2v_y = 32\ m/s$。
(2)方法一　设沿缓冲坡方向为$x$轴正方向，起跳方向为$y$轴正方向。$y$轴正方向加速度大小为$a_y = g\cos 37° = 8\ m/s^2$，运动员从$A$到$B$所用时间为$t = 2 × \frac{v_0}{a_y} = 5\ s$，$x$轴正方向加速度大小为$a_x = g\sin 37° = 6\ m/s^2$，$A$、$B$两点间的距离为$L = \frac{1}{2}a_xt^2 = 75\ m$。方法二　把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由图可知$\cos 37° = \frac{v_0t}{\frac{1}{2}gt^2}$，解得$t = 5\ s$，$A$、$B$两点的距离为合位移$L = v_0t\tan 37° = 75\ m$。
(3)设运动员落在$B$点时速度与斜面夹角为$\beta$，沿斜面方向的速度$v_{//} = a_xt = 30\ m/s$，则$\tan\beta = \frac{v_0}{v_{//}} = \frac{2}{3}$。