《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例5】
(2025·湖南娄底市名校联考)智能寻迹小车目前被应用于物流配送等多个领域，为测试不同寻迹小车的刹车性能，让它们在图甲中 $ A $ 点获得相同的速度，并沿直线 $ AB $ 刹车(刹车过程小车做匀减速直线运动)，最终得分为刹车停止时越过的最后一条分值线对应的分数，每相邻分值线间距离为 $ 0.5 \ m $。某小车 $ M $ 测试时恰好停止于 100 分分值线，该车的位移和时间的比值 $\frac{x}{t}$ 与 $ t $ 之间的关系图像如图乙所示，小车均可视为质点。下列说法正确的是(B)

A.小车 $ M $ 刹车过程中加速度大小为 $ 2 \ m / s ^ { 2 } $
B.$ A $ 点距 100 分分值线的距离为 $ 2 \ m $
C.$ 1 \ s $ 时小车 $ M $ 的速度为 $ 2 \ m / s $
D.若某小车恰好匀减速停止于 96 分分值线，则该车的加速度大小为 $ 3 \ m / s ^ { 2 } $
拓展
在 $\frac{x}{t} - t$ 图像中，计算 $ 0 \sim t _ { 0 } $ 时间内的位移，能不能利用图像与 $ t $ 轴所围的面积？如果不能，哪个面积才表示物体 $ 0 \sim t _ { 0 } $ 时间内的位移？$\frac{x}{t}$ - t图像不是瞬时速度与时间的关系图像,所以物体在0~t₀时间内,图像与t轴所围的面积不表示物体在这段时间内的位移，由v = $\frac{x}{t}$可知t₀时刻对应的$\frac{x}{t}$值为0~t₀时间内的平均速度，故t₀时刻的$\frac{x}{t}$值与t₀乘积等于0~t₀时间内的物体的位移，对应面积如图中阴影所示。

答案：
例5　B　[根据题意,由x = v₀t + $\frac{1}{2}$at²整理可得$\frac{x}{t}$=v₀ + $\frac{1}{2}$at,结合题图乙可得v₀ = 4m/s,$\frac{1}{2}$a = $\frac{2 - 4}{1}$m/s²,解得a = - 4m/s²，即小车M刹车过程中加速度大小为4m/s²,故A错误;A点距100分分值线的距离为x₀ = $\frac{0 - v₀²}{2a}$=$\frac{0 - 4²}{2×(-4)}$m = 2m,1s时小车M的速度为v₁ = v₀ + at = 4m/s - 4×1m/s = 0,故B正确,C错误;若某小车恰好匀减速停止于96分分值线，则刹车距离为x = x₀ + 4$\Delta x$ = 4m,则该车的加速度大小为a₁ = $\frac{v₀²}{2x}$ = $\frac{4²}{2×4}$m/s² = 2m/s²,故D 错误。
拓展　$\frac{x}{t}$ - t图像不是瞬时速度与时间的关系图像,所以物体在0~t₀时间内,图像与t轴所围的面积不表示物体在这段时间内的位移，由v = $\frac{x}{t}$可知t₀时刻对应的$\frac{x}{t}$值为0~t₀时间内的平均速度，故t₀时刻的$\frac{x}{t}$值与t₀乘积等于0~t₀时间内的物体的位移，对应面积如图中阴影所示。

【例6】
一物块沿 $ x $ 轴正方向运动，$ t = 0 $ 时经过坐标原点，物块的位置坐标 $ ( x ) $ 与其速率的平方 $ ( v ^ { 2 } ) $ 关系如图所示，下列说法正确的是(D)


A.物块可能做匀速直线运动
B.物块运动的加速度大小为 $ 2 \ m / s ^ { 2 } $
C.$ t = 2 \ s $ 时物块的速率为 $ 5 \ m / s $
D.$ t = 2 \ s $ 时物块位于 $ x = 6 \ m $ 处

答案： 例6　D　[依题意，根据匀变速直线运动位移速度公式v² - v₀² = 2ax可得x = $\frac{v² - v₀²}{2a}$ = $\frac{1}{2a}$v² - $\frac{v₀²}{2a}$,结合题图可知该物块做匀加速直线运动，故A 错误;根据题图可得$\frac{\Delta x}{\Delta(v²)}$ = $\frac{1}{2a}$ = $\frac{2}{8 - 4}$(m/s²)⁻¹ = $\frac{1}{2}$(m/s²)⁻¹,v₀² = 4(m/s)²,可得该物块经过坐标原点时的速度及加速度分别为v₀ = 2m/s,a = 1m/s²,故B错误;t = 2s时物块的速率为v = v₀ + at = (2 + 1×2)m/s = 4m/s,故C错误;t = 2s时，物块的位置坐标为x = v₀t + $\frac{1}{2}$at² = (2×2 + $\frac{1}{2}$×1×2²)m = 6m,故D正确。]

1. 二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论 $ v_{甲} $ 增大、减小或不变，只要 $ v_{甲} ＜ v_{乙} $，甲、乙间的距离就不断增大。
(2)无论 $ v_{甲} $ 增大、减小或不变，只要 $ v_{甲} ＞ v_{乙} $，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。

答案： 答题格式如下（由于本题仅为概念描述，无具体计算步骤）：
（1）当 $v_{甲} ＜ v_{乙}$ 时：
无论 $v_{甲}$ 是增大、减小或保持不变，只要其速度小于 $v_{乙}$，甲和乙之间的距离会持续增大。
（2）当 $v_{甲} ＞ v_{乙}$ 时：
无论 $v_{甲}$ 是增大、减小或保持不变，只要其速度大于 $v_{乙}$，在甲追上乙之前，甲和乙之间的距离会持续减小。

2. 分析思路
可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。

答案： 答题卡：
解：设经过时间$t$，甲、乙两车速度相等，此时两车相距最远或最近（根据具体情境判断）。
速度相等：$v_{甲} = v_{乙初} \pm a_{乙}t = v_{甲初} \pm a_{甲}t$（根据加速度方向确定正负号）。
即：$v_{0乙} + a_{乙}t = v_{0甲} + a_{甲}t$（若加速度与初速度方向相反则取负，此处以同方向为例，实际情况需根据题意调整符号）。
解得：$t = \frac{v_{0乙} - v_{0甲}}{a_{甲} - a_{乙}}$（注意加速度符号的代入）。
位移等量关系：
甲车位移：$x_{甲} = v_{0甲}t + \frac{1}{2}a_{甲}t^{2}$。
乙车位移：$x_{乙} = v_{0乙}t + \frac{1}{2}a_{乙}t^{2}$。
若两车最初相距$x_{0}$，则两车相距最近或最远的距离为：$\Delta x = x_{0} + x_{甲} - x_{乙}$（或$x_{乙} - x_{甲}$，根据初始位置关系确定）。
将$t$的表达式代入上述位移公式中，可求出$\Delta x$的具体值。
若判断为追及问题，且当两车速度相等时，若$\Delta x \leq 0$，则说明乙车已经追上甲车；若$\Delta x ＞ 0$，则说明乙车还未追上甲车，且此时相距最远。
结论：
当满足速度相等条件时，即$t = \frac{v_{0乙} - v_{0甲}}{a_{甲} - a_{乙}}$时，两车相距（根据计算得出的$\Delta x$值）最远或最近。具体是否追上，需根据$\Delta x$的正负及大小判断。

3. 常见追及情景
(1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大。
(2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
物体甲追赶物体乙：开始时，两个物体相距 $ x_{0} $，当 $ v_{甲} = v_{乙} $ 时，若 $ x_{甲} ＞ x_{乙} + x_{0} $，则能追上；若 $ x_{甲} = x_{乙} + x_{0} $，则恰好追上；若 $ x_{甲} ＜ x_{乙} + x_{0} $，则不能追上。
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。

答案： 答题卡：
1. 设甲、乙两物体初速度分别为$v_{10}$（$v_{10}\lt v_{20}$，假设甲追乙），加速度分别为$a_1$，$a_2$，经过时间$t$两者速度相等，即$v_{10}+a_1t = v_{20}+a_2t$，此时两者距离$\Delta x=x_{乙}+x_0 - x_{甲}$。
分别根据$x = v_0t+\frac{1}{2}at^2$求出$x_{甲}=v_{10}t+\frac{1}{2}a_1t^2$，$x_{乙}=v_{20}t+\frac{1}{2}a_2t^2$，进而得出$\Delta x$，此时$\Delta x$最大。
2. 设甲追乙，开始相距$x_0$，当$v_{甲}=v_{乙}$时：
若$x_{甲}＞x_{乙}+x_0$，能追上；
若$x_{甲}=x_{乙}+x_0$，恰好追上；
若$x_{甲}＜x_{乙}+x_0$，不能追上。
3. 若乙做匀减速直线运动，先根据$v = v_0+at$求出乙停止运动的时间$t_0=\frac{v_{20}}{|a_2|}$（$a_2$为负），再判断甲在$t_0$时间内是否追上乙，即比较$x_{甲}(t_0)$与$x_{乙}(t_0)+x_0$的大小，$x_{甲}(t_0)=v_{10}t_0+\frac{1}{2}a_1t_0^2$，$x_{乙}(t_0)=v_{20}t_0+\frac{1}{2}a_2t_0^2$。