《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。

答案： 正确

2. 在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。

答案： 正确

3. 只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解题。

答案： 此题并非具体题目，无答案选项。

【例4】
(多选)(2024·陕西西安市期末) 如图所示，一质量为 $ m = 0.5 \, kg $ 的小球(可视为质点)，用长为 $ 0.4 \, m $ 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，重力加速度 $ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $，下列说法正确的是(ABC)

A. 小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 $ 2 \, m/s $
B. 当小球在最高点的速度为 $ 4 \, m/s $ 时，轻绳拉力大小为 $ 15 \, N $
C. 若轻绳能承受的最大张力为 $ 45 \, N $，小球的最大速度不能超过 $ 4\sqrt{2} \, m/s $
D. 若轻绳能承受的最大张力为 $ 45 \, N $，小球的最大速度不能超过 $ 4 \, m/s $

答案： 例4　ABC　[设小球通过最高点时的最小速度为$v_0$，则根据牛顿第二定律有$mg = m\frac{v_0^2}{R}$，解得$v_0 = 2 m/s$，故A正确；当小球在最高点的速度为$v_1 = 4 m/s$时，设轻绳拉力大小为$T$，根据牛顿第二定律有$T + mg = m\frac{v_1^2}{R}$，解得$T = 15 N$，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有$T_m - mg = m\frac{v_m^2}{R}$，解得$v_m = 4\sqrt{2} m/s$，故C正确，D错误。]

【例5】
(多选) 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为 $ R $，小球半径为 $ r $，重力加速度为 $ g $，则下列说法正确的是(BC)

A. 小球通过最高点时的最小速度 $ v_{min} = \sqrt{g(R + r)} $
B. 小球通过最高点时的最小速度 $ v_{min} = 0 $
C. 小球在水平线 $ ab $ 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线 $ ab $ 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

答案： 例5　BC　[小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线$ab$以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力$N$与小球重力在背离圆心方向的分力$F_{mg}$的合力提供向心力，即$N - F_{mg} = m\frac{v^2}{R + r}$，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线$ab$以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小球的作用力和重力的合力提供，D错误。]

思考
如图，固定在水平面上的光滑半圆柱体（截面为半圆）顶端 $ A $ 处，小滑块从静止开始沿半圆面下滑至 $ P $ 点（图中未画出）离开圆面，已知圆半径为 $ R $，求 $ P $ 点距水平面的高度。设$P$点与圆心的连线$OP$与水平面间夹角为$\theta$，小滑块恰好离开圆面，$F_N = 0$。在$P$点$mg \sin \theta = m\frac{v^2}{R}$ ①；从最高点$A$至$P$点的过程中$mgR(1 - \sin \theta) = \frac{1}{2}mv^2$ ②；由①②得：$\sin \theta = \frac{2}{3}$；又因为$\sin \theta = \frac{h}{R}$，故$P$点距水平面的高度$h = \frac{2}{3}R$。

答案：
思考　设$P$点与圆心的连线$OP$与水平面间夹角为$\theta$，小滑块恰好离开圆面，$F_N = 0$。在$P$点$mg \sin \theta = m\frac{v^2}{R}$ ①；从最高点$A$至$P$点的过程中$mgR(1 - \sin \theta) = \frac{1}{2}mv^2$ ②；由①②得：$\sin \theta = \frac{2}{3}$；又因为$\sin \theta = \frac{h}{R}$，故$P$点距水平面的高度$h = \frac{2}{3}R$。