《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次方可到达预定轨道，如图所示。

(1) 为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有 $ G\frac{Mm}{r_{1}^{2}} = m\frac{v^{2}}{r_{1}} $。
(2) 在 $ A $ 点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大， $ G\frac{Mm}{r_{1}^{2}} ＜ m\frac{v_{A}^{2}}{r_{1}} $，卫星做进入椭圆轨道Ⅱ。
(3) 在椭圆轨道 $ B $ 点(点)， $ G\frac{Mm}{r_{2}^{2}} ＞ m\frac{v_{B}^{2}}{r_{2}} $，将做近心运动，再次点火加速，使 $ G\frac{Mm}{r_{2}^{2}} = m\frac{v_{B}'^{2}}{r_{2}} $，进入圆轨道Ⅲ。

答案：
(1) 变轨
(2) 离心运动
(3) 远地点

若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？

答案： 在轨道Ⅲ上向前喷气制动减速，使飞船做近心运动降低轨道返回地面。

2. 变轨过程中几个物理量的大小比较
(1) 速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别 $ v_{1} $、$ v_{3} $，在轨道Ⅱ上过 $ A $ 点和 $ B $ 点速率分别为 $ v_{A} $、$ v_{B} $，在 $ A $ 点加速，则 $ v_{A} $$ v_{1} $，在 $ B $ 点加速，则 $ v_{3} $$ v_{B} $，又因为 $ v_{1} $$ v_{3} $，故有 $ v_{A} ＞ v_{1} ＞ v_{3} ＞ v_{B} $。
(2) 加速度：因为在 $ A $ 点，卫星只受到作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 $ A $ 点，卫星的加速度都。同理，经过 $ B $ 点加速度也。
(3) 周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为 $ T_{1} $、$ T_{2} $、$ T_{3} $，轨道半径为 $ r_{1} $、$ r_{2} $(半长轴)、$ r_{3} $。由开普勒第三定律 $ \frac{r^{3}}{T^{2}} = k $，可知有 $ T_{1} $$ T_{2} ＜ T_{3} $。
(4) 机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为 $ E_{1} $、$ E_{2} $、$ E_{3} $，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则 $ E_{1} $$ E_{2} $$ E_{3} $。
(5) 引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为 $ m $ 的质点距质量为 $ M $ 的引力源中心为 $ r $ 时，其引力势能为 $ E_{p} = -\frac{GMm}{r} $($ G $ 为引力常量)。设卫星在 $ A $ 点、$ B $ 点的引力势能分别为 $ E_{pA} $、$ E_{pB} $，则 $ E_{pA} $$ E_{pB} $。

答案：
(1) ＞；＞；＞
(2) 万有引力；相同；相同
(3) ＜
(4) 守恒；＜；＜
(5) ＜

【例1】
(2024·浙江杭州市期中)2022年11月，“天舟五号”货运飞船仅用2小时就与“天宫”空间站快速交会对接。飞船从预定轨道Ⅰ的 $ A $ 点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点 $ B $ 时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接，假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，不计飞船质量的变化，则飞船(B)


A.在轨道Ⅰ上的线速度大于第一宇宙速度
B.在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期
C.第一次变轨需加速，第二次变轨需减速
D.在圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ上 $ A $ 点的加速度不同

答案： 例1 B [根据万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，地球第一宇宙速度等于卫星在近地轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度，可知飞船在轨道Ⅰ的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得$T = \sqrt{\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}}$，由于轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅲ的半径，则飞船在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期，故B正确；卫星从低轨道变轨到高轨道，在变轨处需要点火加速，则第一次变轨需加速，第二次变轨也需加速，故C错误；根据牛顿第二定律可得$\frac{GMm}{r^{2}} = ma$，解得$a = \frac{GM}{r^{2}}$，则飞船在圆轨道Ⅰ上A点与椭圆轨道Ⅱ上A点的加速度相同，故D错误。]

【例2】
(2025·江西抚州市模拟改编)北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(D)

A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

答案： 例2 D [根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。]