《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为$r$的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为$2r$、沿$x$轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点$O$。已知电子的质量为$m$、电荷量为$e$、进入磁场的速度均为$v$，不计电子的重力和电子间的相互作用力，则磁感应强度的大小为(C)


A.$\frac{mv}{2er}$
B.$\frac{\sqrt{2}mv}{2er}$
C.$\frac{mv}{er}$
D.$\frac{2mv}{er}$

答案：
1.C　[由题可知，从左侧任选一束电子流从$A$点进入磁场经磁场偏转后，通过坐标原点$O$，如图所示
由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知$AO_{2} // O_{1}O$，由几何关系可知，平行四边形$AO_{2}O_{1}O$为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径$R = r$，又由于$evB = \frac{mv^{2}}{R}$，可知磁感应强度的大小为$B = \frac{mv}{er}$，故选C。]

2. (多选)(2025·重庆杨家坪中学月考)如图所示，坐标原点$O$处有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为$m$、电荷量为$q$的正粒子(不计重力及粒子间相互作用)，所有粒子速度大小相等。圆心在$(0,R)$、半径为$R$的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为$B$，磁场右侧有一点$A(2R,\frac{3}{2}R)$，已知初速度沿$y$轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿$x$轴的正方向，则(AC)

A.初速度方向与$x$轴夹角为$120^{\circ}$的粒子经过$A$点
B.初速度方向与$x$轴夹角为$135^{\circ}$的粒子经过$A$点
C.经过$A$点的粒子在磁场中运动时间为$\frac{2\pi m}{3qB}$
D.经过$A$点的粒子在磁场中运动时间为$\frac{3\pi m}{4qB}$

答案：
2.AC　[初速度沿$y$轴正方向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿$x$轴的正方向，则粒子的轨迹半径$r = R$，由$qvB = \frac{mv^{2}}{r}$可得粒子轨迹半径都为$R$；结合题意和几何关系可知，平面第一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿$x$轴正方向，设经过$A$点的粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为$\alpha$，根据几何关系有$R + R\sin(\alpha - 90^{\circ}) = \frac{3}{2}R$，解得$\alpha = 120^{\circ}$，故A正确，B错误;该粒子在磁场中的运动时间为$t = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} × \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi m}{3qB}$，故C正确，D错误。]

3. (多选)(2024·山东威海市模拟)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为$r_{0}$的带正电粒子流水平向右射入半径为$r_{0}$的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为$B_{0}$，这些带电粒子都将从磁场圆上$O$点进入正方形区域，正方形过$O$点的一边与半径为$r_{0}$的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使会聚到$O$点的粒子经过该磁场区域后宽度变为$2r_{0}$，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(BC)

A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为$2B_{0}$，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为$\frac{1}{2}B_{0}$，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为$2(\pi - 2)r_{0}^{2}$
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为$\frac{\pi - 2}{2}r_{0}^{2}$

答案：
3.BC　[根据磁聚焦原理，粒子在半径为$r_{0}$的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为$r_{0}$，由$qB_{0}v = m\frac{v^{2}}{r_{0}}$解得$B_{0} = \frac{mv}{qr_{0}}$，要使会聚到$O$点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为$2r_{0}$，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示
由几何关系可知粒子的轨迹半径为$2r_{0}$，正方形中磁场区域内应该为圆形磁场的一部分，有$qB_{1}v = m\frac{v^{2}}{2r_{0}}$，解得$B_{1} = \frac{mv}{2qr_{0}} = \frac{1}{2}B_{0}$，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确;由图可知，磁场区域的最小面积为$S_{\min} = 2[\frac{\pi(2r_{0})^{2}}{4} - \frac{1}{2}(2r_{0})^{2}] = 2(\pi - 2)r_{0}^{2}$，C正确，D错误。]