《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例 3】 (多选)

如图所示，粗糙木板 $MN$ 竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。$t = 0$ 时，一个质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的带正电物块沿 $MN$ 以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的 $v - t$ 图像可能是 (ACD)

拓展
如图所示，质量为 $m$、带电荷量为 $+q$ 的圆环可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为 $B$、垂直于纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度 $v_0$，试分析圆环以后可能的运动情况。带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力 (1)若重力与洛伦兹力相等，圆环将做匀速直线运动; (2)初始时刻，若洛伦兹力大于重力，$N = qv_0B - mg$，圆环受到摩擦力$f = \mu N = \mu(qv_0B - mg)$，$a = \frac{f}{m} = \frac{\mu(qv_0B - mg)}{m}$，圆环将做加速度逐渐减小的减速运动，洛伦兹力逐渐减小，最后洛伦兹力等于重力，做匀速直线运动; (3)初始时刻若洛伦兹力小于重力，圆环也受摩擦力作用，$a = \frac{\mu(mg - qv_0B)}{m}$，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，直到静止。

答案： 例3　ACD　[设物块的初速度为$v_0$，则$F_N = Bqv_0$，若满足$mg = f = \mu F_N$，即$mg = \mu Bqv_0$，物块向下做匀速运动，选项A有可能;若$mg ＞ \mu Bqv_0$，则物块开始时有向下的加速度，由$a = \frac{mg - \mu Bqv}{m}$可知，随着速度增大，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后加速度减到零，达到匀速状态，选项D有可能，B不可能;若$mg ＜ \mu Bqv_0$，则物块开始有向上的加速度，物块做减速运动，由$a = \frac{\mu Bqv - mg}{m}$可知，随着速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后加速度减到零，达到匀速状态，选项C有可能。] 拓展　带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力
(1)若重力与洛伦兹力相等，圆环将做匀速直线运动;
(2)初始时刻，若洛伦兹力大于重力，$N = qv_0B - mg$，圆环受到摩擦力$f = \mu N = \mu(qv_0B - mg)$，$a = \frac{f}{m} = \frac{\mu(qv_0B - mg)}{m}$，圆环将做加速度逐渐减小的减速运动，洛伦兹力逐渐减小，最后洛伦兹力等于重力，做匀速直线运动;
(3)初始时刻若洛伦兹力小于重力，圆环也受摩擦力作用，$a = \frac{\mu(mg - qv_0B)}{m}$，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，直到静止。

【例 4】 (2024·河北省部分重点高中期末联考)
如图所示，足够长的两个平行纸面带绝缘凹槽的光滑倾斜滑道，与水平面的夹角分别为 $\alpha$ 和 $\beta(\alpha ＜ \beta)$，加垂直于纸面向里的匀强磁场，分别将质量相等且带等量正、负电荷的小球 $a$、$b$ 依次从两滑道的顶端由静止释放，不计空气阻力，关于两球在槽上运动的说法正确的是 (C)


A.$a$、$b$ 两球沿槽运动的最大速度分别为 $v_a$ 和 $v_b$，则 $v_a ＞ v_b$
B.在槽上，$a$、$b$ 两球都做匀加速直线运动，且 $a_a ＜ a_b$
C.$a$、$b$ 两球沿槽运动的时间分别为 $t_a$ 和 $t_b$，则 $t_a ＜ t_b$
D.$a$、$b$ 两球沿直槽运动的最大位移分别为 $x_a$ 和 $x_b$，则 $x_a ＞ x_b$

答案： 例4　C　[两小球受到的洛伦兹力都垂直斜面向上，沿斜面方向的合力为重力的分力，故两球都做匀加速直线运动，加速度为$a_a = g\sin\beta$，$a_b = g\sin\alpha$，可见$a_a ＞ a_b$，故B错误;当小球加速到洛伦兹力与重力垂直斜面向下的分力相等时，小球脱离凹槽，此时$mg\cos\theta = Bqv$，所以$v_a = \frac{mg\cos\beta}{qB}$，$v_b = \frac{mg\cos\alpha}{qB}$，由于$\alpha ＜ \beta$，所以$v_a ＜ v_b$，故A错误;由$v = at$得$t_a = \frac{m}{Bq\tan\beta}$，$t_b = \frac{m}{Bq\tan\alpha}$，则$t_a ＜ t_b$，故C正确;由$v^2 = 2ax$求得$x_a = \frac{gm^2\cos^2\beta}{2B^2q^2\sin\beta}$，$x_b = \frac{gm^2\cos^2\alpha}{2B^2q^2\sin\alpha}$，因$\alpha ＜ \beta$，则$x_a ＜ x_b$，故D错误。]

1. 在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。

答案： 1. 匀速直线

2. 带电粒子以速度 $v$ 垂直磁场方向射入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。
(1) 洛伦兹力提供向心力：$qvB = \frac{mv^2}{r}$。
(2) 轨迹半径：$r =$$\frac{mv}{qB}$。
(3) 周期：$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$，可知 $T$ 与运动速度和轨迹半径________，只和粒子的________和磁场的________有关。
(4) 运动时间：当带电粒子转过的圆心角为 $\theta$(弧度) 时，所用时间 $t =$$\frac{\theta m}{qB}$。

答案： 2. 匀速圆周；
(2) $\frac{mv}{qB}$；
(4) $\frac{\theta m}{qB}$

3. 粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1) 圆心的确定方法
① 若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力 $F$ 的方向，其交点即为圆心，如图甲。
② 若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
③ 若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据 $r = \frac{mv}{qB}$ 计算出轨迹半径 $r$，则在该点沿洛伦兹力方向距离为 $r$ 的位置为圆心，如图丙。

(2) 半径的计算方法
方法一 由 $R = \frac{mv}{qB}$ 求得。
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
如图甲，由 $R = \frac{L}{\sin\theta}$ 或 $R^2 = L^2 + (R - d)^2$ 求得。

常用到的几何关系
① 粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，$\varphi = \alpha$。
② 弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，$\theta = \frac{1}{2}\alpha$。
(3) 时间的计算方法
方法一 利用圆心角 $\theta$、周期 $T$ 求得 $t = \frac{\theta}{2\pi}T$。
方法二 利用弧长 $l$、线速度 $v$ 求得 $t = \frac{l}{v}$。

答案： (由于题目没有具体数值和选项，无法给出具体答案，仅提供解题方法。)