《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

(2024·贵州贵阳市清华中学模拟)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是$\frac{1}{4}$圆弧形均匀辐向电场，半径为$R$的中心线$O'O$处的电场强度大小处处相等，且大小为$E_{1}$，方向指向圆心$O_{1}$；在空间坐标系$O - xyz$中，区域Ⅱ是棱长为$L$的正方体空间，该空间内充满沿$y$轴正方向的匀强电场$E_{2}$(大小未知)；区域Ⅲ也是棱长为$L$的正方体空间，空间内充满平行于$xOy$平面，与$x$轴负方向成$45^{\circ}$夹角的匀强磁场，磁感应强度大小为$B$，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从$O'$沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点$O$沿$x$轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。

(1)若某一粒子进入辐向电场的速率为$v_{0}$，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从$P$点进入区域Ⅲ中，已知$P$点坐标为$(L,\frac{L}{2},0)$，求该粒子的比荷$\frac{q}{m_{0}}$和区域Ⅱ中电场强度$E_{2}$的大小；
(2)保持(1)问中$E_{2}$不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷$\frac{q}{m}$需要满足的条件。

答案：
阶段复习(四)　　电场和磁场
规范训练　
(1)$\frac{q}{m}=\frac{v_{0}^{2}}{E_{1}R}$，$E_{2}=\frac{E_{1}R}{L}$　
(2)$\frac{4E_{1}R}{B^{2}L^{2}}＜\frac{q}{m}＜\frac{8E_{1}R}{B^{2}L^{2}}$
解析　
(1)在区域Ⅰ中由静电力提供向心力可得
$q_{0}E_{1}=m_{0}\frac{v_{0}^{2}}{R}$　　　　　　　　　　①
得$\frac{q_{0}}{m_{0}}=\frac{v_{0}^{2}}{E_{1}R}$　　　　　　　　　　　②
区域Ⅱ中$x$轴方向有$L = v_{0}t$　　　③
$y$轴方向有$a=\frac{q_{0}E_{2}}{m_{0}}$　　　　　　　④
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}at^{2}$　　　　　　　　　　　　⑤
联立②③④⑤式得$E_{2}=\frac{E_{1}R}{L}$　　　⑥
(2)设粒子以速率$v$进入辐向电场，
在辐向电场中有$qE_{1}=m\frac{v^{2}}{R}$　　　⑦
得$v = \sqrt{\frac{qE_{1}R}{m}}$　　　　　　　　　　⑧
区域Ⅱ中沿$x$轴方向有$L = vt_{1}$　　⑨
$y$轴方向有$a_{1}=\frac{qE_{2}}{m}$　　　　　　　⑩
$y=\frac{1}{2}a_{1}t_{1}^{2}$　　　　　　　　　　　　⑪
$v_{y}=a_{1}t_{1}$　　　　　　　　　　　　　⑫
联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫式得$y=\frac{L}{2}$　　⑬
$v_{y}=\sqrt{\frac{qE_{1}R}{m}}$　　　　　　　　　　　⑭
区域Ⅲ中粒子速度方向与$x$轴正方向的夹角为$\theta$，
则$\tan\theta=\frac{v_{y}}{v}=1$　　　　　　　　　⑮
粒子进入区域Ⅲ的速度大小$v'=\sqrt{v^{2}+v_{y}^{2}}$，
方向与区域Ⅲ中磁场方向垂直　　　⑯
由$qv'B = m\frac{v'^{2}}{r}$　　　　　　　　　⑰
联立⑭⑮⑯⑰式得$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE_{1}R}{q}}$。
　　　　　　　　　　　　　　　⑱
为了保证粒子能够打到粒子收集板上，粒子轨迹如图所示，
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足$\frac{1}{2}L＜r＜\frac{\sqrt{2}}{2}L$　　　　　⑲
联立⑱⑲式得粒子的比荷$\frac{4E_{1}R}{B^{2}L^{2}}＜\frac{q}{m}＜\frac{8E_{1}R}{B^{2}L^{2}}$。
粒 子收集板