《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例4】(2025·陕西省西安中学开学考)如图所示,在质量为m的物块甲上系着两条细绳,其中长30cm的细绳另一端连着轻质圆环,圆环套在水平棒上可以滑动,圆环与棒间的动摩擦因数$\mu = 0.75$。另一细绳跨过光滑轻质定滑轮与重力为G的物块乙相连,定滑轮固定在距离圆环50cm的地方,系统处于静止状态,OA与棒的夹角为$\theta$,两绳夹角为$\varphi$。当$G = 6N$时,圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取$10m/s^{2}$,$\sin37^{\circ}=0.6$,$\cos37^{\circ}=0.8$。求:

(1)OA绳与棒间的夹角$\theta$;
(2)物块甲的质量m。

答案：
例4　
(1)$53^{\circ}$　
(2)1kg
解析　
(1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为N，细绳对圆环的拉力大小为T，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有$\mu N = T\cos\theta$ ①，$N = T\sin\theta$ ②。
联立①②解得$\tan\theta = \frac{1}{\mu}=\frac{4}{3}$，即$\theta = 53^{\circ}$。
(2)由题意，根据几何关系可知$\varphi = 90^{\circ}$
如图乙所示，以O为坐标原点建立$xOy$直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有$G\cos\theta + T\sin\theta - mg = 0$ ③，$T\cos\theta - G\sin\theta = 0$ ④。
联立③④解得$m = 1$ kg。

【例5】(2025·山东烟台市开学考)如图所示,质量$m = 5.2kg$的金属块放在水平地面上,在斜向右上的拉力F作用下,向右以$v_{0}$的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数$\mu = 0.2$,g取$10m/s^{2}$。求所需拉力F的最小值。$2\sqrt{26}$N

答案：
例5　$2\sqrt{26}$N
解析　方法一　三角函数法
设拉力与水平方向夹角为$\theta$，根据平衡条件有$F\cos\theta = \mu(mg - F\sin\theta)$，整理得$F = \frac{\mu mg}{\cos\theta + \mu\sin\theta} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}\sin(\beta + \theta)}$（其中$\sin\beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$），当$\theta = \frac{\pi}{2} - \beta$时F最小，故所需拉力F的最小值$F_{\min} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}} = 2\sqrt{26}$N。
方法二　利用“摩擦角”法
设N与f的合力与N方向的夹角为$\alpha$，则$\tan\alpha = \frac{f}{N} = \mu$ ①
再设N与f的合力为$F'$。
如图所示，当拉力F与$F'$垂直时有最小值，即$F_{\min} = mg\sin\alpha$ ②
由①②得$F_{\min} = 2\sqrt{26}$N