《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

【例1】
(2023·天津卷·1)运行周期为 $ 24 \, h $ 的北斗卫星比运行周期为 $ 12 \, h $ 的(D)

A.加速度大
B.角速度大
C.周期小
D.线速度小

答案： 例1 D [根据万有引力提供向心力有$F = G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r} = m r \omega^{2} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$
$= ma$，可得$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$，$a = \frac{GM}{r^{2}}$。因为运行周期为24h的北斗卫星周期大，故运行轨道半径大，则线速度小，角速度小，加速度小，故选D。]

【例2】
(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星 $ P $ 绕恒星 $ Q $ 做匀速圆周运动。由于 $ P $ 的遮挡，探测器探测到 $ Q $ 的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与 $ P $ 的公转周期相同。已知 $ Q $ 的质量为 $ M $，引力常量为 $ G $。关于 $ P $ 的公转，下列说法正确的是(B)


A.周期为 $ 2t_{1} - t_{0} $
B.半径为 $ \sqrt[3]{\frac{GM(t_{1} - t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}} $
C.角速度的大小为 $ \frac{\pi}{t_{1} - t_{0}} $
D.加速度的大小为 $ \sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{t_{1} - t_{0}}} $

答案： 例2 B [由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为$T = t_{1} - t_{0}$，则P的公转周期为$t_{1} - t_{0}$，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得半径为$r = \sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{GM(t_{1} - t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}}$，故B正确；P的角速度为$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{t_{1} - t_{0}}$，故C错误；P的加速度大小为$a = \omega^{2}r = (\frac{2\pi}{t_{1} - t_{0}})^{2}$。$\sqrt[3]{\frac{GM(t_{1} - t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}} = \frac{2\pi}{t_{1} - t_{0}}\sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{t_{1} - t_{0}}}$，故D错误。]

【例3】
(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为 $ r $，运行速率为 $ v_{1} $，向心加速度大小为 $ a_{1} $，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 $ a_{2} $，第一宇宙速度大小为 $ v_{2} $，地球半径为 $ R $，则下列比值正确的是(AD)


A.$ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{r}{R} $
B.$ \frac{a_{1}}{a_{2}} = (\frac{R}{r})^{2} $
C.$ \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{r}{R} $
D.$ \frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{R}{r}} $

答案： 例3 AD [根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{r}$，$G\frac{Mm'}{R^{2}} = m'\frac{v_{2}^{2}}{R}$，故$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{R}{r}}$；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有$a_{1} = \omega^{2}r$，$a_{2} = \omega^{2}R$，故$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{r}{R}$，故选A、D。]

三个宇宙速度

答案： 7.9；最小；地球；太阳

1. 试推导第一宇宙速度的两个表达式。
2. 近地卫星的运行周期大约是多长时间？（已知地球质量为 $ m_{地} $，地球半径为 $ R $，地球表面重力加速度为 $ g $，引力常量为 $ G $，其中 $ R = 6.4 × 10^{3} \, km $，$ g = 9.8 \, m/s^{2}$$$）

答案： 1. 第一宇宙速度表达式推导
（1）万有引力提供向心力：$G\frac{m_{地}m_{卫}}{R^2}=m_{卫}\frac{v^2}{R}$，化简得$v=\sqrt{\frac{Gm_{地}}{R}}$。
（2）地球表面重力近似等于万有引力：$mg=G\frac{m_{地}m}{R^2}$，即$Gm_{地}=gR^2$，代入上式得$v=\sqrt{gR}$。
2. 近地卫星运行周期
由周期公式$T=\frac{2\pi R}{v}$，且$v=\sqrt{gR}$，得$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。
代入$R=6.4×10^6\,m$，$g=9.8\,m/s^2$：
$T=2\pi\sqrt{\frac{6.4×10^6}{9.8}}\approx5.1×10^3\,s$（或约85分钟）。
答案
1. $v=\sqrt{\frac{Gm_{地}}{R}}$，$v=\sqrt{gR}$；
2. 约$5.1×10^3\,s$（或85分钟）。