《2025年步步高大一轮复习讲义物理教科版》

1. 已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为$v_1$，远日点速度大小为$v_2$，近日点距太阳距离为$r_1$，远日点距太阳距离为$r_2$。

(1)$v_1$与$v_2$大小什么关系？
(2)试证明$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_2}{r_1}$。
2. 把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，试求$k$值。

答案： 1.
(1) $ v_1 ＞ v_2 $
(2) 由开普勒第二定律，行星与太阳连线单位时间扫过面积相等。近日点Δt内扫过面积$ \Delta S_1 = \frac{1}{2}r_1 \cdot v_1\Delta t $，远日点$ \Delta S_2 = \frac{1}{2}r_2 \cdot v_2\Delta t $。因$ \Delta S_1 = \Delta S_2 $，故$ \frac{1}{2}r_1v_1\Delta t = \frac{1}{2}r_2v_2\Delta t $，化简得$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1} $。
2. 对圆轨道，万有引力提供向心力：$ G\frac{Mm}{r^2} = m\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2\frac{1}{r} $，整理得$ \frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2} $，故$ k = \frac{GM}{4\pi^2} $。

1. 围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。()
2. 行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。()
3. 不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。()

答案： 1.√
2.×
3.×

【例1】
(2024·安徽卷·5)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(B)


A.周期约为144h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度

答案： 例1 B [根据开普勒第三定律有$\frac {T_1^2}{a_1^3} = \frac {T_2^2}{a_2^3}$，可知鹊桥二号在捕获轨道运行周期$T_2 = T_1\sqrt {\frac {a_2^3}{a_1^3}} \approx 288 h$，A错误；根据开普勒第二定律可知，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；从捕获轨道到冻结轨道，鹊桥二号在近月点进行近月制动减速，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。]

1. 万有引力定律
(1)内容
任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与成正比、与这两个物体之间的成反比。即$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$，$G$为引力常量，通常取$G = 6.67×10^{-11}N·m^2/kg^2$，由英国物理学家卡文迪许测定。
(2)适用条件
①公式适用于间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，$r$是间的距离。

答案：
(1)两物体的质量$m_1$和$m_2$的乘积；距离$r$的平方
(2)质点；两球心

2. 星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小$g$(不考虑地球自转)：有$mg = G\frac{Mm}{R^2}$，得$g = \frac{GM}{R^2}$。
(2)地球上空的重力加速度大小$g'$
地球上空距离地球中心$r = R + h$处由$mg' = \frac{GMm}{(R + h)^2}$，得$g' = \frac{GM}{(R + h)^2}$。

答案： （1）$g = \frac{GM}{R^2}$；
（2）$g' = \frac{GM}{(R + h)^2}$；

1. 地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。()
2. 地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。()
3. 两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。()

答案： ×√×

【例2】
(2025·江苏高邮市调研)火星的质量约为地球质量的$\frac{1}{10}$，半径约为地球半径的$\frac{1}{2}$，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(B)

A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5

答案： 例2 B [万有引力定律表达式为$F = G\frac {m_1m_2}{r^2}$，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为$\frac {F_{火引}}{F_{地引}} = \frac {M_{火}}{M_{地}} \cdot \frac {r_{地}^2}{r_{火}^2} = 0.4$，选项B正确。]