《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

阅读教材 $ P_{67\sim70} $ 中的有关内容,回答下列问题。
(1) 判定两个三角形相似的简便方法二：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边______,并且______相等,那么这两个三角形相似。
(2) 相似三角形的判定定理 2 中对应相等的角必须是两边的______。
(3) 判定两个三角形相似的简便方法三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边______,那么这两个三角形相似。

答案：
(1)对应成比例　夹角
(2)夹角
(3)对应成比例

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = 60^{\circ} $, $ AB = 6 $, $ BC = 8 $。将 $ \triangle ABC $ 沿图中的 $ DE $ 剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )。

答案： D

2. 如图,每个小正方形的边长均为 1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 相似的是( )。

答案： B

3. 如图,已知 $ \angle 1 = \angle 2 $,那么添加下列条件后,不能判定 $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $ 的是( )。

A.$ \angle C = \angle E $
B.$ \angle B = \angle ADE $
C.$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $
D.$ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} $

答案： D

在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ \angle BAC = 90^{\circ} $, $ P $ 为 $ BC $ 上的动点,小慧将含 $ 45^{\circ} $ 角的直角三角尺的 $ 45^{\circ} $ 角的顶点落在点 $ P $ 处,直角三角尺可绕点 $ P $ 旋转。
(1) 如图 1,当直角三角尺的两边分别交 $ AB $、 $ AC $ 于点 $ E $、 $ F $ 时,求证： $ \triangle BPE \sim \triangle CFP $。
(2) 将直角三角尺绕点 $ P $ 旋转到图 2 情形时,直角三角尺的两边分别交 $ BA $ 的延长线、边 $ AC $ 于点 $ E $、 $ F $, $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CFP $ 还相似吗？(只需写出结论)
(3) 在(2)的条件下,连结 $ EF $, $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle PFE $ 是否相似？若不相似,则动点 $ P $ 运动到什么位置时, $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle PFE $ 相似？请说明理由。

答案：
(1)
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠B=∠C=45°.
∵ ∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴ ∠BPE+∠BEP=135°.
∵ ∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴ ∠BPE+∠CPF=135°.
∴ ∠BEP=∠CPF.
又
∵ ∠B=∠C，
∴ △BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似).
(2)△BPE∽△CFP.
(3)在
(2)的条件下，△BPE与△PFE不相似.
当动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似.
理由：同
(1)，可证得△BPE∽△CFP，得CP∶BE=PF∶PE.
而CP=BP，
∴ PB∶BE=PF∶PE.
∴ $\frac{PB}{PF}=\frac{BE}{PE}$.
又
∵ ∠EBP=∠EPF，
∴ △BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).