《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

4. 阅读内容,解答问题.
我们知道,计算 $ n $ 边形的对角线条数公式为 $ \frac{1}{2}n(n - 3) $. 如果一个 $ n $ 边形共有 $ 20 $ 条对角线,那么可以得到方程 $ \frac{1}{2}n(n - 3)= 20 $,整理,得 $ n^{2}-3n - 40 = 0 $,解得 $ n = 8 $ 或 $ n = - 5 $.
$ \because $ $ n\geq3 $,
$ \therefore $ $ n = - 5 $ 不符合题意,舍去.
$ \therefore $ $ n = 8 $,即该多边形是八边形.
(1) 若一个多边形共有 $ 14 $ 条对角线,则这个多边形的边数是多少？
(2) A 同学说：“我求得一个多边形有 $ 10 $ 条对角线. ”你认为 A 同学的说法正确吗？为什么？

答案： 4.
(1)根据题意,得
$\dfrac{1}{2}n(n-3)=14$.
整理,得$n^{2}-3n-28=0$.
解得$n=7$或$n=-4$.
$\because\quad n\geqslant3$
$\therefore\quad n=-4$不符合题意,舍去.
$\therefore\quad n=7$,即该多边形是七边形.
(2)A同学的说法是不正确的.
理由:根据题意,得
$\dfrac{1}{2}n(n-3)=10$.
整理,得$n^{2}-3n-20=0$.
解得$n=\dfrac{3\pm\sqrt{89}}{2}$.
$\because\quad$符合方程$n^{2}-3n-20=0$的正整数$n$不存在
$\therefore\quad$多边形的对角线不可能有10条.

5. 欧几里得在《几何原本》中记载了用图解法解方程 $ x^{2}+ax = b^{2} $ 的方法,类似地,我们可以用折纸的方法求方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的一个正根. 如图,一张边长为 $ 1 $ 的正方形的纸片 $ ABCD $,先折出 $ AD $、$ BC $ 的中点 $ G $、$ H $,再折出线段 $ AN $,然后沿线段 $ AN $ 折叠,使 $ AD $ 落在线段 $ AH $ 上,得到点 $ D $ 的新位置点 $ P $,并连结 $ NP $、$ NH $,此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的一个正根,则这条线段是( ).

A.线段 $ BH $
B.线段 $ DN $
C.线段 $ CN $
D.线段 $ NH $

答案：
5.B
解析:设$DN=m$,则$NC=1-m$.

根据题意可知$\triangle ADN\cong\triangle APN$,又$\because\quad H$是$BC$的中点,
$\therefore\quad DN=NP=m,CH=0.5,AH=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
$\because\quad S_{正方形ABCD}=S_{\triangle ABH}+S_{\triangle ADN}+S_{\triangle CHN}+S_{\triangle ANH}$
$\therefore\quad 1×1=\dfrac{1}{2}×1×\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}×1× m+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×(1-m)+\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}}{2}× m$.
$\therefore\quad m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\because\quad x^{2}+x-1=0$的解为$x=-\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
$\therefore\quad$取正值为$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\therefore\quad$这条线段是$DN$.