《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 建设美丽城市,改造老旧小区。某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同。
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率。
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元,2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%,如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

答案：
(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为$x$,根据题意,得
$1000(1+x)^{2}=1440$.
解得$x_{1}=0.2=20\%$,$x_{2}=-2.2$(不符合题意,舍去).
答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.
(2)设该市在2022年可以改造$y$个老旧小区,根据题意,得
$80×(1+15\%)y\leqslant1440×(1+20\%)$.
解得$y\leqslant\frac{432}{23}$.
又
∵ $y$为整数,
∴ $y$的最大值为18.
答:该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.

4. 现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展。据调查,长沙市某家小型大学生自主创业的快递公司,今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同。
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率。
(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能,请问至少需要增加几名业务员？

答案：
(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为$x$,根据题意,得
$10(1+x)^{2}=12.1$.
解得$x_{1}=0.1$,$x_{2}=-2.1$(不符合题意,舍去).
答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
(2)今年6月份的快递投递任务是
$12.1×(1+10\%)=13.31$(万件).
∵ 平均每人每月最多可投递0.6万件,
∴ 21名快递投递业务员能完成的快递投递任务为
$0.6×21=12.6＜13.31$.
∴ 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务,需要增加业务员
$(13.31-12.6)÷0.6=1\frac{11}{60}\approx2$(人).
答:该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务,至少需要增加2名业务员.

5. 某中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召,开设了“足球大课间”活动,现需要购进100个某品牌的足球供学生使用。经调查,该品牌足球2018年的单价是200元,2020年的单价是162元。
(1)求2018年到2020年该品牌足球单价平均每年降低的百分率。
(2)购买期间学校发现该品牌足球在A、B两个体育用品商店有不同的促销方案,A商店买十送一,B商店全场打九折,通过计算说明到哪个商店购买足球更优惠。

答案：
(1)设2018年到2020年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为$x$,根据题意,得
$200(1-x)^{2}=162$.
解得$x_{1}=0.1=10\%$,$x_{2}=1.9$(不符合题意,舍去).
答:2018年到2020年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)$100×\frac{10}{11}\approx90.91$(个),
$90+1=91$(个),
在A商店购买所需费用为
$162×91=14742$(元),
在B商店购买所需费用为
$162×100×0.9=14580$(元).
∵ $14742＞14580$,
∴ 去B商店购买足球更优惠.