《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

20. (9 分)如图,在 $ \triangle ABC $中,$ AB = AC = 5 $,$ P $为 $ BC $边上一动点(不与点 $ B $、$ C $重合),过点 $ P $作射线 $ PM $,交 $ AC $于点 $ M $,且 $ \angle APM = \angle B $,$ BC = 8 $,$ BP = 2 $,求 $ CM $的值.

答案：
∵ $BC=8$,$BP=2$,
∴ $CP=BC-BP=6$.
∵ $AB=AC$,
∴ $\angle B=\angle C$.
∵ $\angle APM=\angle B$,
∴ $\angle BAP=180^{\circ}-\angle B-\angle APB$$=180^{\circ}-\angle APM-\angle APB$$=\angle CPM$.
∴ $\triangle ABP\backsim \triangle PCM$.
∴ $\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$.
∴ $\frac{5}{6}=\frac{2}{CM}$.解得$CM=\frac{12}{5}$.

21. (8 分)2022 年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事分别在我国首都北京和河北省张家口市举行,某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”类纪念品,每个的进价是 $ 30 $元. 为了增大“雪容融”类纪念品的销售量,商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售,当销售价为每个 $ 44 $元时,每天可以售出 $ 20 $个,每降价 $ 1 $元,每天可多售出 $ 5 $个. 请问商家将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时,每天售出此类纪念品能获利 $ 400 $元？

答案： 设商家将"雪容融"类纪念品每个降价$x$元,则"雪容融"类纪念品每个的销售利润为$(44-x-30)$元,每天可以售出$(20+5x)$个,根据题意,得$(44-x-30)(20+5x)=400$.整理,得$x^{2}-10x+24=0$.解得$x_{1}=4$,$x_{2}=6$.答:当商家将"雪容融"类纪念品每个降价4元或6元时,每天售出此类纪念品能获利400元.

22. (8 分)如图,一块长 $ 5m $、宽 $ 4m $的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的 $ \frac{17}{80} $.
(1) 求配色条纹的宽度.
(2) 如果地毯配色条纹部分每平方米造价 $ 200 $元,其余部分每平方米造价 $ 100 $元,求地毯的总造价.

答案：
(1)设配色条纹的宽度为$x\ m$.思路1:直接表示配色条纹所占面积为$2x× 5+2x× 4-4x^{2}=\frac{17}{80}× 5× 4$.解得$x_{1}=\frac{17}{4}$(不符合题意,舍去),$x_{2}=\frac{1}{4}$.思路2:根据平移知识,地毯其余部分所占面积为$(5-2x)(4-2x)=5× 4× \left(1-\frac{17}{80}\right)$.解得$x_{1}=\frac{17}{4}$(不符合题意,舍去),$x_{2}=\frac{1}{4}$.答:配色条纹的宽度为$\frac{1}{4}\ m$.
(2)配色条纹部分的造价为$\frac{17}{80}× 5× 4× 200=850$(元),其余部分的造价为$\left(1-\frac{17}{80}\right)× 4× 5× 100=1575$(元),
∴ 地毯的总造价为$850+1575=2425$(元).答:地毯的总造价是2425元.