《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

$6$.阅读材料,解答问题.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图①,在直角三角形$ABC中,\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$\because 3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$,
$\therefore$ 斜边$AB = 5$.为了比较$\sqrt{5} + 1与\sqrt{10}$的大小,小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究.
$(1)小伍利用计算器得到了\sqrt{5} \approx 2.236$,$\sqrt{10} \approx 3.162$,则$\sqrt{5} + 1$______(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$\sqrt{10}$.
$(2)$小陆受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发,构造出如图②所示的图形,其中$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 3$,点$D在BC$上,且$BD = AC = 1$.请你利用此图进行计算与推理,帮小陆比较$\sqrt{5} + 1和\sqrt{10}$的大小.

答案：
(1)＞
(2)
∵ $\angle C=90°$,$BC=3$,$BD=AC=1$,
∴ $CD=2$.
∵ $AD^2=AC^2+CD^2$,$AB^2=AC^2+BC^2$,
∴ $AD=\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{10}$.
∴ $AD+BD=\sqrt{5}+1$.
∵ 两点之间,线段最短,
∴ $AD+BD＞AB$.
∴ $\sqrt{5}+1＞\sqrt{10}$.