《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

如图,一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点 $ P $ 处测得正前方水平地面上某建筑物 $ AB $ 的顶端 $ A $ 的俯角为 $ 30^{\circ} $,面向 $ AB $ 方向继续飞行 $ 5 m $,测得该建筑物底端 $ B $ 的俯角为 $ 45^{\circ} $,已知建筑物 $ AB $ 的高为 $ 3 m $,求无人机飞行的高度。(结果精确到 $ 1 m $,参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $,$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)

答案：
过点A作AC⊥PQ,交PQ的延长线于点C,如图所示.

设AC=x,根据题意,得
PQ=5,∠APC=30°,∠BQC=45°.
在Rt△APC中,
tan∠APC=$\frac{AC}{PC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ PC=$\sqrt{3}$AC=$\sqrt{3}$x.
在Rt△BCQ中,
tan∠BQC=$\frac{BC}{QC}$=tan45°=1,
∴ QC=BC=AC+AB=x+3.
∵ PC - QC=PQ=5,
∴ $\sqrt{3}$x-(x+3)=5.
解得x=4($\sqrt{3}$+1).
∴ BC=4($\sqrt{3}$+1)+3=4$\sqrt{3}$+7≈14.
答:无人机飞行的高度约为14 m.

1. 如图,某飞机于空中 $ A $ 处探测到某地面目标在点 $ B $ 处,此时飞行高度 $ AC = 1200 m $,从飞机上看到点 $ B $ 的俯角为 $ 37^{\circ} $,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动,当飞机飞行 $ 943 m $ 到达点 $ D $ 处时,地面目标此时运动到点 $ E $ 处,从点 $ E $ 看到点 $ D $ 的仰角为 $ 47.4^{\circ} $,则地面目标运动的距离 $ BE $ 约为____ $ m $。(参考数据：$ \tan 37^{\circ} \approx \dfrac{3}{4} $,$ \tan 47.4^{\circ} \approx \dfrac{10}{9} $)

答案： 423

2. 2024 年 6 月 2 日,“嫦娥六号”着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面。某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从 $ A $ 点竖直下降到 $ B $ 点,再竖直下降到着陆点 $ C $,从 $ B $ 点测得地面 $ D $ 点的俯角为 $ 36.87^{\circ} $,$ AD = 17 m $,$ BD = 10 m $。
(1) 求 $ CD $ 的长。
(2) 若模拟装置从 $ A $ 点以 $ 2 m/s $ 的速度匀速下降到 $ B $ 点,求模拟装置从 $ A $ 点下降到 $ B $ 点的时间。
(参考数据：$ \sin 36.87^{\circ} \approx 0.60 $,$ \cos 36.87^{\circ} \approx 0.80 $,$ \tan 36.87^{\circ} \approx 0.75 $)

答案：

(1)如图,设通过B点的水平线与AD相交于E点.

根据题意,得AC⊥CD,BE//CD,
∴ ∠EBD=∠BDC=36.87°.
在Rt△BCD中,BD=10,
∴ CD=BD·cos36.87°≈10×0.80=8.
答:CD的长约为8 m.
(2)在Rt△BCD中,BD=10,∠BDC=36.87°,
∴ BC=BD·sin36.87°≈10×0.6=6.
在Rt△ACD中,AD=17,CD=8,
∴ AC=$\sqrt{AD^2 - CD^2}$=$\sqrt{17^2 - 8^2}$=15.
∴ AB=AC - BC=15 - 6=9.
∵ 模拟装置从A点以2 m/s的速度匀速下降到B点,
∴ 模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5.
答:模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5 s.