《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

5. $ \angle BAC $ 放在正方形网格纸上的位置如图,则 $ \tan \angle BAC $ 的值为( ).

A.$ \frac{1}{6} $
B.$ \frac{1}{5} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： D

6. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ a $、 $ b $、 $ c $ 分别是 $ \angle A $、 $ \angle B $、 $ \angle C $ 所对的边,且 $ 2b = a + c $.
(1) 求 $ \angle A $ 的正弦值.
(2) 当 $ b = 20 $ 时,求 $ c $ 的值.

答案：
(1)根据题意,得$b=\frac{1}{2}(a+c)$.
$\because$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$,
$\therefore$ $a^{2}+\frac{1}{4}(a+c)^{2}=c^{2}$,
$(a+c)(a-c)+\frac{1}{4}(a+c)^{2}=0$,
$(a+c)(\frac{5}{4}a-\frac{3}{4}c)=0$.
$\because$ $a+c\neq0$,
$\therefore$ $a=\frac{3}{5}c$,$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$.
(2)当$b=20$时,$a+c=40$,
$\because$ $a=\frac{3}{5}c$,
$\therefore$ $\frac{3}{5}c+c=40$.
解得$c=25$.

7. 要求 $ \tan 30° $ 的值,可构造直角三角形进行计算：如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,使 $ \angle C = 90° $,斜边 $ AB = 2 $,直角边 $ AC = 1 $,那么 $ BC = \sqrt{3} $, $ \angle ABC = 30° $,所以 $ \tan 30° = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出 $ \tan 15° $ 的值,请画出你添加的辅助线,并求出 $ \tan 15° $ 的值.

答案： 如图,延长$CB$至点$D$,使$BD=AB$,则$\angle D=15^{\circ}$,$\tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$.

8. 如图,在锐角三角形 $ ABC $ 中, $ AB = 10 \, cm $, $ BC = 9 \, cm $, $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 27 \, cm^2 $,求 $ \tan B $ 的值.

答案： 如图,过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$.
由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC$,得
$\frac{1}{2}\cdot AD\cdot9=27$.
解得$AD=6$.
在$Rt\triangle ABD$中,
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,
$\therefore$ $\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.