《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 如图,$ CA \perp AD $,$ ED \perp AD $,$ B $ 是线段 $ AD $ 上的一点,且 $ CB \perp BE $,已知 $ AB = 8 $,$ AC = 6 $,$ DE = 4 $.
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle DEB $.
(2) 求线段 $ BD $ 的长.

答案： （1）
∵ $CA⊥AD,ED⊥AD,$$CB⊥BE,$
$\therefore ∠A=∠CBE=∠D=90^{\circ }.$
$\therefore ∠C+∠CBA=90^{\circ },∠CBA+$$∠DBE=90^{\circ }.$
$\therefore ∠C=∠DBE.$
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEB.$
（2）$\because \triangle ABC\backsim \triangle DEB,$
$\therefore \frac {AC}{BD}=\frac {AB}{DE}.$
$\therefore \frac {6}{BD}=\frac {8}{4}.$
$\therefore BD=3.$

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD $ 是边 $ BC $ 上的中线,$ BE \perp AC $ 于点 $ E $,请写出一对相似三角形,并证明.

答案： 答案不唯一,如$\triangle BEC\backsim \triangle ADC.$
证明:
∵ $AB=AC$,AD是边BC上的中线,
$\therefore AD⊥BC.$
$\therefore ∠ADC=90^{\circ }.$
又$\because BE⊥AC,$
$\therefore ∠BEC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠ADC=∠BEC=90^{\circ }.$
又$\because ∠C=∠C,$
$\therefore \triangle BEC\backsim \triangle ADC.$

5. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,点 $ E $、$ F $ 分别在边 $ AB $、$ AD $ 上,$ BE = DF $,$ CE $ 的延长线交 $ DA $ 的延长线于点 $ G $,$ CF $ 的延长线交 $ BA $ 的延长线于点 $ H $.
(1) 求证：$ \triangle BEC \backsim \triangle BCH $.
(2) 如果 $ BE^{2} = AB \cdot AE $,求证：$ AG = DF $.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是菱形,
$\therefore CD=CB,∠D=∠B,CD// AB.$
$\because DF=BE,$
$\therefore \triangle CDF\cong \triangle CBE.$
$\therefore ∠DCF=∠BCE.$
$\because CD// BH,$
$\therefore ∠H=∠DCF.$
$\therefore ∠BCE=∠H.$
$\because ∠B=∠B,$
$\therefore \triangle BEC\backsim \triangle BCH.$
（2）$\because BE^{2}=AB\cdot AE,$
$\therefore \frac {BE}{AB}=\frac {AE}{BE}.$
在菱形ABCD中,$AD// BC,$
$\therefore \triangle AEG\backsim \triangle BEC.$
$\therefore \frac {AE}{BE}=\frac {AG}{BC}.$
$\therefore \frac {BE}{AB}=\frac {AG}{BC}.$
$\because DF=BE,BC=AB,$
$\therefore BE=AG=DF$,即$AG=DF.$

6. (1) 如图 1,在正方形 $ ABCD $ 中,点 $ E $、$ F $ 分别在 $ BC $、$ CD $ 上,$ AE \perp BF $ 于点 $ M $,求证：$ AE = BF $.
(2) 如图 2,将 (1) 中的正方形 $ ABCD $ 改为矩形 $ ABCD $,$ AB = 2 $,$ BC = 3 $,$ AE \perp BF $ 于点 $ M $,探究 $ AE $ 与 $ BF $ 之间的数量关系,并证明你的结论.

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠ABC=∠C,AB=BC.$
$\because AE⊥BF,$
$\therefore ∠AMB=∠BAM+∠ABM=90^{\circ }.$
$\because ∠ABM+∠CBF=90^{\circ },$
$\therefore ∠BAM=∠CBF.$
在$\triangle ABE$和$\triangle BCF$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠CBF,\\ AB=BC,\\ ∠ABE=∠BCF,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle BCF(A.S.A.).$
$\therefore AE=BF.$
（2）$AE=\frac {2}{3}BF.$
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
$\therefore ∠ABC=∠C.$
$\because AE⊥BF,$
$\therefore ∠AMB=∠BAM+∠ABM=90^{\circ }.$
$\because ∠ABM+∠CBF=90^{\circ },$
$\therefore ∠BAM=∠CBF.$
$\therefore \triangle ABE\backsim \triangle BCF.$
$\therefore \frac {AE}{BF}=\frac {AB}{BC}=\frac {2}{3}.$
$\therefore AE=\frac {2}{3}BF.$