《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

2. 学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯 $B$ 的位置如图所示,已知坡长 $AC = 12$ m,坡角 $\alpha$ 为 $30^{\circ}$,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角 $\beta$ 为 $27^{\circ}$,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端 $C$ 处,且与地面的夹角为 $60^{\circ}$,已知 $A$、$B$、$C$、$D$ 在同一平面上。(结果精确到 $0.1$ m,参考数据：$\sin 27^{\circ} \approx 0.45$,$\cos 27^{\circ} \approx 0.89$,$\tan 27^{\circ} \approx 0.51$,$\sqrt{3} \approx 1.73$)
(1) 求灯杆 $AB$ 的高度。
(2) 求 $CD$ 的长度。

答案： 2.
(1)延长$BA$,交$CG$于点$E$,则$BE\perp CG$. 在$Rt\triangle ACE$中,$\angle ACE=30^{\circ}$,$AC=12$,$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$,$CE=AC\cdot\cos\alpha=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. 在$Rt\triangle BCE$中,$\angle BCE=60^{\circ}$,$\therefore BE=CE\cdot\tan\angle BCE =6\sqrt{3}×\sqrt{3}=18$. $\therefore AB=BE - AE=18 - 6=12$. 答:灯杆$AB$的高度为$12\ m$.
(2)在$Rt\triangle BDE$中,$\angle BDE=27^{\circ}$,$\therefore CD=DE - CE =\frac{BE}{\tan\angle BDE}-6\sqrt{3}\approx\frac{18}{0.51}-6\sqrt{3}\approx24.9$. 答:$CD$的长度约为$24.9\ m$.

3. 如图,堤坝 $AB$ 长为 $10$ m,坡度 $i$ 为 $1:0.75$,底端 $A$ 在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶 $D$ 处立有高为 $20$ m 的铁塔 $CD$。小明欲测量山高 $DE$,他在 $A$ 处看到铁塔顶端 $C$ 刚好在视线 $AB$ 上,又在坝顶 $B$ 处测得塔底 $D$ 的仰角 $\alpha$ 为 $26^{\circ}35'$。求堤坝高及山高 $DE$。(参考数据：$\sin 26^{\circ}35' \approx 0.45$,$\cos 26^{\circ}35' \approx 0.89$,$\tan 26^{\circ}35' \approx 0.50$,小明身高忽略不计,结果精确到 $1$ m)

答案： 3.过点$B$作$BH\perp AE$于点$H$. $\because$坡度$i$为$1:0.75$,$\therefore$设$BH=4x$,则$AH=3x$,$\therefore AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=5x=10$. 解得$x=2$.$\therefore AH=6$,$BH=8$. 过点$B$作$BF\perp CE$于点$F$,则$EF=BH=8$,$BF=EH$. 设$DF=a$,$\because\alpha=26^{\circ}35'$,$\therefore BF=\frac{DF}{\tan26^{\circ}35'}\approx\frac{a}{0.50}=2a$. $\therefore AE\approx6+2a$. $\because$坡度$i$为$1:0.75$,$\therefore CE:AE \approx(20+a+8):(6+2a)=1:0.75$. 解得$a=12$.$\therefore DF\approx12$. $\therefore DE=DF+EF\approx12+8=20$. 答:堤坝高约为$8\ m$,山高$DE$约为$20\ m$.