《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 17$,$BC = 8$,矩形 $CDEF$ 的另三个顶点 $D$、$E$、$F$ 均在 $Rt\triangle ABC$ 的边上,且邻边之比为 $1:2$,画出符合题意的图形,并求出矩形周长的值。

答案： 分为两种情况：
(1)如图1,当CF=2EF时,
∵ $\angle C=90°$,AB=17,BC=8,
∴ AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{289-64}=15$.
∵ 四边形CDEF是矩形,
∴ EF$//$BC,EF=CD,CF=DE.
∴ $\triangle AEF \backsim \triangle ABC$.
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$.
∴ $\frac{EF}{8}=\frac{15-2EF}{15}$.
∴ EF=$\frac{120}{31}$.
∴ CF=$\frac{240}{31}$.
∴ 矩形CDEF的周长=2(CF+EF)=$\frac{720}{31}$.
(2)如图2,当EF=2CF时,
∵ $\angle C=90°$,AB=17,BC=8,
∴ AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{289-64}=15$.
∵ 四边形CDEF是矩形,
∴ EF$//$BC,EF=CD,CF=DE.
∴ $\triangle AEF \backsim \triangle ABC$.
∴ $\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$.
∴ $\frac{EF}{8}=\frac{15-\frac{1}{2}EF}{15}$.
∴ EF=$\frac{120}{19}$.
∴ CF=$\frac{60}{19}$.
∴ 矩形CDEF的周长=2(CF+EF)=$\frac{360}{19}$.综上所述,矩形CDEF的周长的值为$\frac{720}{31}$或$\frac{360}{19}$.

1. 如图所示是一个正方形网格,$A$、$B$、$C$、$D$ 是网格线的交点,$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,则 $\triangle ABO$ 的面积与 $\triangle CDO$ 的面积之比为( )。

A.$1:2$
B.$\sqrt{2}:2$
C.$1:4$
D.$\sqrt{2}:4$

答案： C

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD \perp BC$,$BE \perp AC$。若 $BD = 3CD$,$S_{\triangle BCE}:S_{\triangle ACD} = 9:4$,则 $AE:CE$ 的值是( )。

A.$4:5$
B.$5:4$
C.$7:9$
D.$9:7$

答案： C