《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 阅读教材 $P_{115}$ 中的“读一读”部分,并回答下列问题。
(1) ______ 叫做坡度。
(2) 坡度通常用 ______ 表示,记作 ______ 。习惯上把坡度写成 ______ 的形式。
(3) ______ 叫做坡角,记作 $\alpha$,有 $i = \tan\alpha$。
(4) 坡度与坡角之间有什么关系？

答案： 1.
(1)坡面的铅垂高度和水平长度的比
(2)$i$ $i=\frac{h}{l}$ $i=1:m$
(3)坡面与水平面的夹角
(4)坡度越大,坡角越大,坡面越陡.

2. 阅读教材 $P_{115}$ 中的“例 4”,并回答下列问题。
在解决梯形问题时,经常借助作什么辅助线构造直角三角形？

答案： 2.作梯形的高.

3. “问题导学”中两位同学的看法,谁的正确？说明理由。

答案： 3.乙同学的看法正确. 理由:甲同学经过的斜坡坡度为$\sqrt{100^{2}-50^{2}}=50\sqrt{3}$,$i_{1}=50:50\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$; 乙同学经过的斜坡坡度为$\sqrt{100^{2}-60^{2}}=80$,$i_{2}=60:80=3:4$.

1. 已知坡比 $i = 1:3$($h$ 是铅垂高度,$l$ 是水平长度),
(1) 若 $h = 10$,则 $l = $ ______ 。
(2) 若 $l = 15$,则 $h = $ ______ 。
(3) 若斜坡长为 $20$,则 $h = $ ______ 。(结果可保留根号)

答案： 1.
(1)30
(2)5
(3)$2\sqrt{10}$

2. 太原地铁 2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于 2020 年 12 月 26 日开通运营。如图是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯 $AB$ 的坡度 $i = 5:12$($i$ 为铅直高度与水平长度的比)。王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 处以 $0.5$ m/s 的速度用时 $40$ s 到达扶梯顶端 $B$ 处,则王老师上升的铅直高度 $BC$ 为 ______ m。

答案： 2.$\frac{100}{13}$

如图,斜坡 $AB$ 的坡角 $\angle BAC = 13^{\circ}$,计划在该坡面上安装两排平行的光伏板,前排光伏板的一端位于点 $A$,过其另一端 $D$ 安装支架 $DE$,$DE$ 所在的直线垂直于水平线 $AC$,垂足为点 $F$,$E$ 为 $DF$ 与 $AB$ 的交点,已知 $AD = 100$ cm,前排光伏板的坡角 $\angle DAC = 28^{\circ}$。
(1) 求 $AE$ 的长(结果取整数)。
(2) 冬至日正午,经过点 $D$ 的太阳光线与 $AC$ 所成的角 $\angle DGA = 32^{\circ}$,后排光伏板的前端 $H$ 在 $AB$ 上,此时,若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响,则 $EH$ 的最小值为多少？(结果取整数)
参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{6} \approx 2.45$。

| | $13^{\circ}$ | $28^{\circ}$ | $32^{\circ}$ |
| $\sin A$ | $0.22$ | $0.47$ | $0.53$ |
| $\cos A$ | $0.97$ | $0.88$ | $0.85$ |
| $\tan A$ | $0.23$ | $0.53$ | $0.62$ |

答案：
(1)在$Rt\triangle ADF$中,$\cos\angle DAF=\frac{AF}{AD}$,$\therefore AF=AD\cdot\cos\angle DAF =100×\cos28^{\circ}\approx100×0.88 =88$. 在$Rt\triangle AEF$中,$\cos\angle EAF=\frac{AF}{AE}$,$\therefore AE=\frac{AF}{\cos\angle EAF}\approx\frac{88}{\cos13^{\circ}}\approx\frac{88}{0.97}\approx91$. 答:$AE$的长为$91\ cm$.
(2)设$DG$交$AB$于点$M$,过点$A$作$AN\perp DN$于点$N$,如图. $\therefore\angle AMN=\angle MAG+\angle DGA =13^{\circ}+32^{\circ}=45^{\circ}$. 在$Rt\triangle ADF$中,$DF=AD\cdot\sin\angle DAC =100×\sin28^{\circ}\approx100×0.47 =47$. 在$Rt\triangle DFG$中,$\tan\angle DGF=\frac{DF}{FG}$,$\therefore\tan32^{\circ}=\frac{47}{FG}$,$\therefore FG=\frac{47}{\tan32^{\circ}}\approx\frac{47}{0.62}\approx76$. $\therefore AG=AF+FG \approx88+76=164$. 在$Rt\triangle AGN$中,$AN=AG\cdot\sin\angle DGA=164×\sin32^{\circ}\approx164×0.53\approx87$. $\because\angle AMN=45^{\circ}$,$\therefore\triangle AMN$为等腰直角三角形. $\therefore AM=\sqrt{2}AN\approx1.41×87 \approx123$. $\therefore EM=AM - AE\approx123 - 91 =32$. 答:当点$M$、$H$重合时,$EH$的值最小,且$EH$的最小值约为$32\ cm$.