《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

$2$.从$- \sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$中任意选择两个数,分别填在算式$(□ + ◯ )^{2} ÷ \sqrt{2}$里面的“$□$”与“$◯$”中,计算该算式的结果是______.(只需写出一种结果)

答案： $\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$(答案不唯一)

$3$.嘉琪计算$\sqrt{6} × (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{27}$时的部分解题步骤如下.
解:$\sqrt{6} × (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt{27}$
$= \sqrt{6} × (\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3\sqrt{3}$
$= \sqrt{6} × (\frac{2\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{2}}{6}) + 3\sqrt{3}$.
$(1)$以上解题步骤中用到了______(选两项).

A.等式的基本性质
B.二次根式的化简
C.二次根式的乘法法则
D.通分
$(2)$算到这里,他发现算式好像变得更复杂了,请用一种简便的方法解答此题.

答案：
(1)BD
(2)原式=$\sqrt{6}×\left( \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+\sqrt{27}$ $=\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{6}×\frac{1}{\sqrt{2}}+3\sqrt{3}$ $=\sqrt{2}-\sqrt{3}+3\sqrt{3}$ $=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$.

$4$.计算:
$(1)(3\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + 5\sqrt{3})$.
$(2)(\sqrt{2} - 1)^{2} + (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$.

答案：
(1)$14\sqrt{15}$
(2)$4-2\sqrt{2}$

$5$.已知$x = \sqrt{3} + 1$,$y = \sqrt{3} - 1$,求下列各式的值:
$(1)x^{2} + 2xy + y^{2}$.
$(2)x^{2} - y^{2}$.

答案：
(1)12
(2)$4\sqrt{3}$