《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 如图,$ CD $ 是一座南北走向的大桥,一辆汽车在笔直的公路 $ l $ 上由北向南行驶,在 $ A $ 处测得桥头 $ C $ 在南偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上,继续行驶 $ 1500 m $ 后到达 $ B $ 处,测得桥头 $ C $ 在南偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上,桥头 $ D $ 在南偏东 $ 45^{\circ} $ 方向上,求大桥 $ CD $ 的长度。(结果精确到 $ 1 m $,参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)

答案： 1.如图,分别过点C和点D作AB的垂线,垂足分别为点M、N.
在Rt△CBM中,
tan∠CBM=CM/BM=√3,
∴ CM=√3 BM.
在Rt△ACM中,
tanA=CM/AM=√3/3,
∴ √3 BM/(1500 + BM)=√3/3.
解得BM=750.
∴ CM=750√3.
∴ DN=CM=750√3.
在Rt△DBN中,
tan∠DBN=DN/BN=1,
∴ BN=DN=750√3.
∴ MN=BN - BM
=750√3 - 750.
∴ CD=MN=750√3 - 750
≈548.
答:大桥CD的长约为548 m.

2. 如图,一艘轮船在 $ A $ 处测得灯塔 $ M $ 位于 $ A $ 的北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上,轮船沿着正北方向航行 $ 20 $ 海里到达 $ B $ 处,测得灯塔 $ M $ 位于 $ B $ 的北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上,测得港口 $ C $ 位于 $ B $ 的北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向上。已知港口 $ C $ 在灯塔 $ M $ 的正北方向上。
(1) $ \angle AMB = $______$ ^{\circ} $,$ \angle BCM = $______$ ^{\circ} $。
(2) 求灯塔 $ M $ 到轮船航线 $ AB $ 的距离(结果保留根号)。
(3) 求港口 $ C $ 与灯塔 $ M $ 间的距离(结果保留根号)。

答案： 2.
(1)30 45
(2)如图,分别过点C、M作CD⊥AB,ME⊥AB,垂足分别为点D、E.
∵ ∠DBM=∠A + ∠AMB=60°,∠A=30°,
∴ ∠AMB=30°.
∵ AB、CM都是正北方向,
∴ AB//CM.
∵ ∠DBC=45°,
∴ ∠BCM=45°.
∴ ∠A=∠AMB.
∴ AB=BM=20.
在Rt△EBM中,sin∠EBM=EM/BM,
∴ EM=sin∠EBM·BM
=sin60°×20
=(√3/2)×20
=10√3.
答:灯塔M到轮船航线AB的距离为10√3海里.
(3)
∵ CD⊥AB,ME⊥AB,AB、CM都是正北方向,
∴ 四边形DEMC是矩形.
∴ CD=EM=10√3,DE=CM.
在Rt△CDB中,
∵ ∠DBC=45°,
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC=10√3.
在Rt△EMB中,cos∠DBM=EB/BM,
∴ EB=cos∠DBM·BM
=cos60°×20
=1/2×20 = 10.
∴ CM=DE=DB - EB
=10√3 - 10
=10(√3 - 1).
答:港口C与灯塔M间的距离为10(√3 - 1)海里.