《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

7. 在研究相似问题时,甲、乙两位同学的观点如下：
甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张,得到新的三角形,它们的对应边间距为 1,则新三角形与原三角形相似.
乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为 1,则新矩形与原矩形不相似.
关于甲、乙两位同学的观点,下列说法正确的是( ).

A.甲、乙都对
B.甲、乙都不对
C.甲对,乙不对
D.甲不对,乙对

答案： A

8. 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}(\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此. 若小凡的身高满足此黄金分割比例,且肚脐至足底的长度为 108 cm,则小凡的身高约为( ).

A.$155cm$
B.$165cm$
C.$175cm$
D.$185cm$

答案： C

9. 如图,在四边形 ABCD 中,$∠A = 90^{\circ}$,$AB = 4$,M、N 分别是边 BC、AB 上的动点(含端点,但点 M 不与点 B 重合),E、F 分别是线段 DM、MN 的中点,若线段 EF 的最大值为 2.5,则 AD 的长为( ).

A.5
B.$\sqrt{41}$
C.2.5
D.3

答案： D

10. 在$\triangle ABC$中,$∠B = ∠C = \alpha(0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 45^{\circ})$,$AH \perp BC$,垂足为点 H,D 是线段 HC 上的动点(不与点 H、C 重合),将线段 DH 绕点 D 顺时针旋转$2\alpha$得到线段 DE. 两位同学经过深入研究,小明发现：当点 E 落在边 AC 上时,D 为 HC 的中点；小丽发现：连结 AE,当 AE 的长最小时,$AH^{2} = AB \cdot AE$. 请对这两位同学的发现作出评判( ).

A.小明正确,小丽错误
B.小明错误,小丽正确
C.小明、小丽都正确
D.小明、小丽都错误

答案： C

11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点 A、B 分别在习字格的边 MN、PQ 上,且$AB // NP$,“晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点 C 处,且$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$. 若$NP = 2cm$,则 BC 的长为______ cm.(结果保留根号)

答案： $(\sqrt{5}-1)$