《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

10. 对于已知三角形的三边长分别为 $a$、$b$、$c$,求其面积的问题,中外数学家曾经进行过深入的研究,我国南宋时期的数学家秦九韶(约 $1202 - 1261$)曾提出利用三角形的三边长求其面积的秦九韶公式 $S = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right)^2}$.若一个三角形的三边长分别为 $2$,$3$,$4$,则其面积是( ).

A.$\frac{3\sqrt{15}}{8}$
B.$\frac{3\sqrt{15}}{4}$
C.$\frac{3\sqrt{15}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{2}$

答案： B

11. 已知 $x$ 为正整数,写出一个使 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内没有意义的 $x$ 值是______.

答案： 1或2

12. 计算 $(\sqrt{14} + 3)(\sqrt{14} - 3)$ 的结果为______.

答案： 5

13. 计算 $\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 的结果为______,这个数落在了数轴上的______段.

答案： $2\sqrt{3}-2$ ②

14. 观察下列等式：① $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$,② $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$,③ $7 - 2\sqrt{12} = (\sqrt{4} - \sqrt{3})^2$,…,请你根据以上规律,写出第 $6$ 个等式：______.

答案： $13-2\sqrt{42}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})^{2}$

15. 对于任意不相等的两个实数 $a$、$b$,定义一种运算“※”如下：$a※b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$,如 $3※2 = \frac{\sqrt{3 + 2}}{3 - 2} = \sqrt{5}$,那么 $12※4 = $______.

答案： $\frac{1}{2}$

16. (6 分)计算：
(1) $(-\sqrt{2}) × \sqrt{6} + |\sqrt{3} - 2| - \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$.
(2) $(\sqrt{3} - 2)^2 + \sqrt{12} + 6\sqrt{\frac{1}{3}}$.

答案：
(1)原式$=-\sqrt{12}+2-\sqrt{3}-2$
$=-2\sqrt{3}-\sqrt{3}$
$=-3\sqrt{3}$.
(2)原式$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+6×\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=3+4-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
$=7$.

17. (7 分)已知二次根式 $\sqrt{a + 2}$.
(1) 如果该二次根式 $\sqrt{a + 2} = 3$,求 $a$ 的值.
(2) 已知 $\sqrt{a + 2}$ 为最简二次根式,且与 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 能够合并,求 $a$ 的值,并求出这两个二次根式的积.

答案：
(1)$\because\sqrt{a+2}=3$,
$\therefore a+2=9$.
$\therefore a=7$.
(2)$\because\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$,$\sqrt{a+2}$为最简二次根式,且与$\sqrt{\frac{5}{2}}$能够合并,
$\therefore a+2=10$.
$\therefore a=8$.
$\therefore\sqrt{10}×\frac{\sqrt{10}}{2}=5$.
$\therefore$这两个二次根式的积为5.