《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$。
(1)尺规作图：作 $BC$ 的垂直平分线,交 $AC$ 于点 $D$,延长 $AC$ 至点 $E$,使 $CE = AB$。
(2)若 $AE = 1$,求 $\triangle ABD$ 的周长。
(3)若 $AD = \frac{1}{3}BD$,求 $\tan\angle ABC$ 的值。

答案： 5.
(1)如图即为所求.
(2)如图,连结BD,设BC的垂直平分线交BC于点F,
$\therefore BD=CD$.
$\therefore \triangle ABD$的周长
$=AB+AD+BD$
$=AB+AD+DC$
$=AB+AC$
$=AC+CE$
$=AE=1$.
(3)设$AD=x$,$\therefore BD=3x$.
又$\because BD=CD$,
$\therefore AC=AD+CD=4x$.
在$Rt\triangle ABD$中,
$AB=\sqrt{BD^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}-x^{2}}=2\sqrt{2}x$,
$\therefore \tan \angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{4x}{2\sqrt{2}x}=\sqrt{2}$.

6. 如图,在 $10×6$ 的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 $1$,线段 $AB$、线段 $EF$ 的端点均在小正方形的顶点上。
(1)在图中以 $AB$ 为边画 $Rt\triangle ABC$,点 $C$ 在小正方形的格点上,使 $\angle BAC = 90^{\circ}$,且 $\tan\angle ACB = \frac{2}{3}$。
(2)在(1)的条件下,在图中画以 $EF$ 为边且面积为 $3$ 的 $\triangle DEF$,点 $D$ 在小正方形的格点上,使 $\angle CBD = 45^{\circ}$,连结 $CD$,直接写出线段 $CD$ 的长。

答案： 6.
(1)如图,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$,
$AC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$,
$BC=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$,
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}=26$,$BC^{2}=(\sqrt{26})^{2}=26$,
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,且$\angle BAC=90^{\circ}$,$\tan \angle ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$.
(2)如图,$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}× 2× 3=3$.
$\because BC=\sqrt{26}$,
$CD=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$,
$BD=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{52}$,
$\therefore BC^{2}+CD^{2}=52$,$BD^{2}=52$.
$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$.
$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$,$BC=CD$.
$\therefore \angle CBD=45^{\circ}$.