《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 已知关于$x的方程x^{2}+3x + k = 0的一个根是2$,求：
(1) 该方程的另一个根。
(2) $k$的值。

答案：
(1) $-5$；
(2) $-10$（由于本题非选择题，直接呈现计算结果。）

已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$。
(1) 求证：无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根。
(2) 设该方程的两个实数根为$a$、$b$,若$(2a + b)(a + 2b)= 20$,求$m$的值。

答案：
(1)证明：
∵ $\Delta =[-(2m+1)]^{2}-4(m^{2}+m)$$=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m$$=1＞0,$
∴ 无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵ 该方程的两个实数根为a、b,
∴ $a+b=2m+1,ab=m^{2}+m.$
∵ $(2a+b)(a+2b)=20,$
∴ $2a^{2}+4ab+ab+2b^{2}=2(a^{2}+2ab+b^{2})+ab=2(a+b)^{2}+ab=20,$
∴ $2(2m+1)^{2}+m^{2}+m=20.$整理,得$m^{2}+m-2=0.$解得$m_{1}=-2,m_{2}=1.$
∴ m的值为-2或1.

关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}\cdot x_{2}= $______。

答案： $-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$

1. 若$m$、$n是一元二次方程x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根,则$m+(n - 2)^{2}$的值为______。

答案： 7

2. 小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根分别是$6和1$；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根分别是$-2和-5$。则原来的方程是( )。
(A) $x^{2}+6x + 5 = 0$
(B) $x^{2}-7x + 10 = 0$
(C) $x^{2}-5x + 2 = 0$
(D) $x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： B

3. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+3x + k - 2 = 0$有实数根。
(1) 求实数$k$的取值范围。
(2) 设方程的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)= -1$,求$k$的值。

答案：
(1)
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$有实数根,
∴ $\Delta =3^{2}-4×1×(k - 2)\geq 0.$解得$k\leq \frac{17}{4}.$
∴ k的取值范围是$k\leq \frac{17}{4}.$
(2)
∵ 方程$x^{2}+3x + k - 2 = 0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,
∴ $x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=k - 2.$
∵ $(x_{1}+1)(x_{2}+1)= -1,$
∴ $x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1.$
∴ $k - 2+(-3)+1=-1.$解得$k=3.$
∴ k的值是3.