《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

18. (6 分)(1) 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$,$y = 2 + \sqrt{3}$,求 $x^2 + y^2 - 3xy$ 的值.
(2) 若 $x = \sqrt{2} + 1$,求代数式 $x^2 - 2x + 2025$ 的值.

答案：
(1)$\because x=2-\sqrt{3}$,$y=2+\sqrt{3}$,
$\therefore x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$,
$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1$.
$\therefore x^{2}+y^{2}-3xy$
$=x^{2}+y^{2}+2xy-5xy$
$=(x+y)^{2}-5xy$
$=4^{2}-5×1$
$=11$.
(2)$\because x=\sqrt{2}+1$,
$\therefore x-1=\sqrt{2}$.
$\therefore x^{2}-2x+2025$
$=x^{2}-2x+1+2024$
$=(x-1)^{2}+2024$
$=(\sqrt{2})^{2}+2024$
$=2026$.

19. (8 分)据研究,高空抛物下落的时间 $t$(单位：s)和高度 $h$(单位：m)近似满足公式 $t = \sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑风速的影响).
(1) 求从 $40 m$ 高空抛物的落地时间.
(2) 小明认为从 $80 m$ 高空抛物的落地时间是(1) 中所求时间的 $2$ 倍,他的说法正确吗？如果不正确,请说明理由.
(3) 已知高空坠落物体的动能 $E = 10 ×$ 物体质量 $×$ 高度(单位：J),如果质量为 $0.05 kg$ 的鸡蛋经过 $6 s$ 后落在地上,那么这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要 $65 J$ 的动能)

答案：
(1)根据题意,得$h=40\ m$,
$\therefore t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}(s)$.
(2)不正确.
理由:当$h_{2}=80\ m$时,
$t_{2}=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4(s)$.
$\because4\neq2×2\sqrt{2}$,
$\therefore$不正确.
(3)当$t=6\ s$时,$6=\sqrt{\frac{h}{5}}$,
解得$h=180\ m$.
$\therefore$鸡蛋产生的动能
$E=10×0.05×180=90(J)$.
启示:严禁高空抛物.

20. (10 分)嘉琪准备完成题目“计算：$\sqrt{48} - ■\sqrt{\frac{1}{8}} - \left(3\sqrt{\frac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5}\right)$”时,发现“■”处的数字印刷不清楚.
(1) 他把“■”处的数字猜成 $4$,请你计算 $\sqrt{48} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} - \left(3\sqrt{\frac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5}\right)$ 的结果.
(2) 老师说：“你猜错了,这道题的正确答案是 $3\sqrt{3}$.”请通过计算说明题目中“■”处的数字是几？

答案：
(1)$\sqrt{48}-4\sqrt{\frac{1}{8}}-\left(3\sqrt{\frac{1}{3}}-4\sqrt{0.5}\right)$
$=4\sqrt{3}-4×\frac{\sqrt{2}}{4}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}+4×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
(2)设“■”处的数字为$a$,则
$\sqrt{48}-a\sqrt{\frac{1}{8}}-\left(3\sqrt{\frac{1}{3}}-4\sqrt{0.5}\right)$
$=4\sqrt{3}-a×\frac{\sqrt{2}}{4}-3×\frac{\sqrt{3}}{3}+4×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=4\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{2}}{4}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
$=3\sqrt{3}+\left(2-\frac{a}{4}\right)\sqrt{2}$.
$\because$这道题的正确答案是$3\sqrt{3}$,
$\therefore2-\frac{a}{4}=0$.
解得$a=8$,
即“■”处的数字是8.