《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

17. (8 分)下面是小颖解一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解方程：$2x^{2} - 3x - 5 = 0$.
解：$2x^{2} - 3x - 5 = 0$.
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}$, 第一步
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \left( \frac{3}{4} \right)^{2} = \frac{5}{2} + \left( \frac{3}{4} \right)^{2}$, 第二步
$\left( x - \frac{3}{4} \right)^{2} = \frac{49}{16}$, 第三步
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$, 第四步
$x - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}或x - \frac{3}{4} = -\frac{7}{4}$, 第五步
$x_{1} = \frac{5}{2},x_{2} = -1$. 第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是 .

A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是 .
任务二：请你用“公式法”解该方程.

答案： 任务一:①C
②等式的基本性质(或等式两边同时加或减同一个代数式,所得结果仍是等式)
任务二:
∵ a=2,b=-3,c=-5,
∴ $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-5)=49＞0$.
∴ $x=\frac{3\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{3\pm7}{4}$.
∴ $x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=-1$.

18. (6 分)解下列方程：
(1)$x^{2} + 4x - 2 = 0$.
(2)$(x - 2)^{2} = 3(x - 2)$.

答案：
(1)
∵ $x^{2}+4x-2=0$,
∴ $x^{2}+4x=2$.
∴ $x^{2}+4x+4=2+4$,
即$(x+2)^{2}=6$.
∴ $x+2=\pm\sqrt{6}$.
∴ $x_{1}=-2+\sqrt{6},x_{2}=-2-\sqrt{6}$.
(2)
∵ $(x-2)^{2}=3(x-2)$,
∴ $(x-2)^{2}-3(x-2)=0$.
∴ $(x-2)(x-5)=0$.
∴ x-2=0或x-5=0.
解得$x_{1}=2,x_{2}=5$.

19. (7 分)如图,在正方形$ABCD$中,$E是对角线AC$上的一点,连结$DE$,交$CB的延长线于点F$,交$AB于点G$.
(1)求证：$\triangle BEG \sim \triangle FEB$.
(2)当$BF = 1$,$BC = 3$时,求$EG$的长.

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD//BC,AD=AB,∠DAC=∠BAC=45°.
∵ AE=AE,
∴ △ADE≌△ABE(S.A.S.).
∴ ∠ADE=∠ABE.
∵ AD//BC,
∴ ∠ADE=∠F.
∴ ∠ABE=∠F.
又∠BEG=∠FEB,
∴ △BEG∽△FEB.
(2)
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB//CD,∠DCB=90°,AD=DC=BC=3.
∴ CF=BC+BF=3+1=4.
∴ $DF=\sqrt{CF^{2}+CD^{2}}=5$.
∵ AB//CD,
∴ $\frac{BF}{CF}=\frac{FG}{DF}$.
∴ $\frac{1}{4}=\frac{FG}{5}$.
∴ $FG=\frac{5}{4}$.
∵ AD//BC,
∴ ∠ADE=∠F,∠DAE=∠FCE.
∴ △ADE∽△CFE.
∴ $\frac{AD}{CF}=\frac{DE}{EF}$.
∴ $\frac{3}{4}=\frac{5-EF}{EF}$.
∴ $EF=\frac{20}{7}$.
∴ $EG=EF-FG=\frac{20}{7}-\frac{5}{4}=\frac{45}{28}$.