《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A'B'C' $ 中, $ D $、 $ D' $ 分别是 $ AB $、 $ A'B' $ 上的点,且 $ \frac{AD}{AB} = \frac{A'D'}{A'B'} $。
(1) 当 $ \frac{CD}{C'D'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} $ 时,求证： $ \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' $。
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格。
(2) 当 $ \frac{CD}{C'D'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'} $ 时,判断 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 是否相似,并说明理由。

答案：

(1)$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$
∠A=∠A'
(2)相似.理由：如图，分别过点D、D'作DE//BC，D'E'//B'C'，DE交AC于点E，D'E'交A'C'于点E'.
　 　　
∵ DE//BC，
∴ △ADE∽△ABC.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$.
∴ $\frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$.
同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
∴ $1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{A'E'}{A'C'}$.
∴ $\frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$，
即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$.
∴ $\frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
∵ $\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴ $\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$.
∴ △DCE∽△D'C'E'.
∴ ∠CED=∠C'E'D'.
∵ DE//BC，
∴ ∠CED+∠ACB=180°.
同理，∠C'E'D'+∠A'C'B'=180°.
∴ ∠ACB=∠A'C'B'.
∵ $\frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$，
∴ △ABC∽△A'B'C'.

6. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 6 $, $ BC = 5 $, $ AC = 4 $, $ D $ 是线段 $ AB $ 上一点,且 $ DB = 4 $,过点 $ D $ 作 $ DE $,与线段 $ AC $ 相交于点 $ E $,使以 $ A $、 $ D $、 $ E $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ABC $ 相似,求 $ DE $ 的长。请根据下列两位同学的交流回答问题：
(1) 写出正确的比例式及后续解答。
(2) 指出另一个错误,并写出正确的解答。

答案：

(1)正确的比例式为$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$.
后续解答：
∴ $DE=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{2×5}{6}=\frac{5}{3}$.
(2)另一个错误是没有进行分类讨论.
正解：还有另外一种情况，如图，过点D作∠ADE=∠ACB，
　　　　　　
则△ADE∽△ACB.
∴ $\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$.
∴ $DE=\frac{AD\cdot CB}{AC}=\frac{2×5}{4}=\frac{5}{2}$.
综上可得，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$.