《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

阅读教材 $P_{38}$ 中的“问题 $1$”。
(1)设小道的宽为 $x m$,则横的小道面积为______ $m^{2}$,纵的小道面积为______ $m^{2}$,重叠部分的小正方形的面积为______ $m^{2}$,根据题意,得方程______,化成一般形式为______,根据方程的特点,选择合适的方法解方程,得______,其中______不符合题意,应舍去,则最终得到小道的宽为______。
(2)问题中没有明确小道在试验田中的位置,则小道面积与位置无关,若将小道平移到两边,小道面积是否保持不变？______。根据图形,种植面积的长用含 $x$ 的代数式表示为______,种植面积的宽用含 $x$ 的代数式表示为______,由种植面积是 $540m^{2}$,列方程为______,化成一般形式为______。
(3)完整地解答一下“问题 $1$”。
(4)列一元二次方程解应用题与以前列一元一次方程解应用题有什么区别和联系？

答案： （1）32x 20x $x^{2}$ $32×20 - 32x - 20x + x^{2}=540$ $x^{2}-52x + 100=0$ $x_{1}=50,x_{2}=2$ $x_{1}=50$ 2 m
（2）保持不变 （$32 - x$）m
（$20 - x$）m （$32 - x$）（$20 - x$）= 540
$x^{2}-52x + 100=0$
（3）设小道的宽为$x$ m，
根据题意，得
（$32 - x$）（$20 - x$）= 540.
解得$x_{1}=50,x_{2}=2$.
$x_{1}=50＞32$不符合题意，应舍去.
答：小道的宽为2 m.
（4）区别：解的个数不同，通常一元一次方程只有一个解，而一元二次方程会出现两个解.
联系：方程的解可能不符合题目的意义，需要进行检验.

1. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是 $864$ 平方步,其中宽与长的和为 $60$ 步,问宽和长各几步？若设长为 $x$ 步,则下列符合题意的方程是( )。

A.$x\cdot\frac{60 - x}{2}= 864$
B.$x(60 + x)= 864$
C.$x(60 - x)= 864$
D.$x(30 - x)= 864$

答案： C

2. 如图,在宽为 $20m$,长为 $32m$ 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为 $540m^{2}$,求道路的宽. 设道路宽为 $x m$,根据题意,所列方程正确的是( )。

A.$(20 + x)(32 - x)= 540$
B.$(20 - x)(32 + x)= 100$
C.$(20 - x)(32 - x)= 540$
D.$(20 + x)(32 + x)= 540$

答案： C