《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 阅读教材 $ P_{30} $ 中的“思考”部分.
(1) 填表：解一元二次方程有哪几种方法？如何根据方程的特点来选择合适的解法呢？试一试吧！
|方程的类型|合适的解法|
|$ x^{2}= k(k\geq0) $| |
|$ (bx + c)^{2}-k = 0(k\geq0) $| |
|$ x^{2}-k = 0(k\geq0) $| |
|$ x^{2}-kx = 0 $| |
|$ x^{2}+px + q = 0(p^{2}-4q\geq0) $| |
|$ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $| |

(2) 在这几种方法中,哪种解法是任意一个方程都可以用的？

答案： 1.
(1)
|方程的类型|合适的解法|
|$x^{2}=k(k\geqslant0)$|直接开平方法、因式分解法|
|$(bx + c)^{2}-k = 0(k\geq0)$|直接开平方法|
|$x^{2}-k = 0(k\geq0)$|因式分解法、直接开平方法|
|$x^{2}-kx = 0$|因式分解法|
|$x^{2}+px + q = 0(p^{2}-4q\geq0)$|配方法、公式法|
|$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$|公式法|
(2)其中公式法和配方法是通用的方法.

2. 阅读教材 $ P_{30} $ 中的“应用”部分.
(1) 在解决教材 $ P_{18} $“问题 1”时,我们得到了方程 $ x(x + 10)= 900 $,你会解吗？
(2) 请你观察方程的特点选择合适的方法来解方程.
(3) 请你判断一下,方程的两个根都符合题意吗？
(4) 将本题的解答过程完整地写出来.

答案： 2.
(1)
(2)略
(3)其中$x=-5-5\sqrt{37}$是负数,不符合题意,应舍去.
(4)设绿地的宽为$x$米.
根据题意,得
$x(x+10)=900.$
解得$x_{1}=-5+5\sqrt{37},x_{2}=-5-5\sqrt{37}.$
$x_{2}$是负数,不符合题意,舍去.
$\therefore\quad x=-5+5\sqrt{37}\approx25.4$
$x+10\approx35.4$.
答:绿地的宽约为25.4米,长约为35.4米.

1. 请选择合适的方法解下列方程：
(1) $ x^{2}= 16 $.
(2) $ x^{2}-8x = 0 $.
(3) $ x^{2}+4x - 5 = 0 $.
(4) $ 3x^{2}-5x - 2 = 0 $.

答案： 1.
(1)$x_{1}=4,x_{2}=-4$
(2)$x_{1}=0,x_{2}=8$
(3)$x_{1}=1,x_{2}=-5$
(4)$x_{1}=2,x_{2}=-\dfrac{1}{3}$

2. 按要求解下列方程：
(1) $ x^{2}-4x - 2 = 0 $.(配方法)
(2) $ (x + 4)^{2}-5(x + 4)= 0 $.(因式分解法)
(3) $ x^{2}-6x = 8 $.(公式法)
(4) $ (x + 1)(x - 5)= 7 $.(配方法)

答案： 2.
(1)$x^{2}-4x-2=0$
$x^{2}-4x+4=6$
$(x-2)^{2}=6$
$x-2=\pm\sqrt{6}$
$\therefore\quad x_{1}=\sqrt{6}+2,x_{2}=-\sqrt{6}+2$.
(2)$(x+4)^{2}-5(x+4)=0$
$(x+4)(x+4-5)=0$
$x+4=0$或$x+4-5=0$
$\therefore\quad x_{1}=-4,x_{2}=1$.
(3)$x^{2}-6x=8$
$x^{2}-6x-8=0$
$a=1,b=-6,c=-8$
$\Delta=(-6)^{2}-4×1×(-8)=68$
$x=\dfrac{6\pm\sqrt{68}}{2}=3\pm\sqrt{17}$
$\therefore\quad x_{1}=3-\sqrt{17},x_{2}=3+\sqrt{17}$.
(4)$(x+1)(x-5)=7$
$x^{2}-4x-12=0$
$x^{2}-4x+4=12+4$
$(x-2)^{2}=16$
$x-2=\pm4$
$\therefore\quad x-2=4$或$x-2=-4$
$\therefore\quad x_{1}=6,x_{2}=-2$.