《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 3cm$,$BC = 2cm$,点$A在直线l_1$上,点$B$、$C在直线l_2$上,$l_1// l_2$,动点$P从点A出发沿直线l_1以1cm/s$的速度向右运动,设运动时间为$t s$。下列结论：①当$t = 2s$时,四边形$ABCP的周长是10cm$；②当$t = 4s$时,点$P到直线l_2的距离等于5cm$；③在点$P$运动的过程中,$\triangle PBC的面积随着t$的增大而增大；④若$D$、$E分别是线段PB$、$PC$的中点,在点$P$运动的过程中,线段$DE$的长度不变,其中正确的是( )。

A.①④
B.②③
C.①③
D.②④

答案： A

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$D$、$E分别是AB$、$AC$的中点,$F$、$G分别是AD$、$AE$的中点,$BC = 8cm$,求$FG$的长。

答案： 2 cm

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AE平分\angle BAC$,$BE\perp AE于点E$,$F是BC$的中点。
(1)如图$1$,$BE的延长线与边AC相交于点D$,求证：$EF = \frac{1}{2}(AC - AB)$。
(2)如图$2$,在$\triangle ABC$中,$AB = 9$,$AC = 5$,求线段$EF$的长。

答案：
(1)在△AEB和△AED中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠DAE,\\ AE=AE,\\ ∠AEB=∠AED=90°,\\ \end{array}\right.$
∴ △AEB≌△AED(A.S.A.).
∴ BE=DE,AD=AB.
∵ BE=DE,BF=FC,
∴ EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$(AC - AD)=$\frac{1}{2}$(AC - AB).
(2)如图,分别延长BE、AC,相交于点H.在△AEB和△AEH中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠HAE,\\ AE=AE,\\ ∠AEB=∠AEH=90°,\\ \end{array}\right.$
∴ △AEB≌△AEH(A.S.A.).
∴ BE=HE,AH=AB=9.
∵ BE=HE,BF=FC,
∴ EF=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$(AH - AC)=2.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC = 5$,点$D在AC$上,且$AD = 2$,$E是AB$上的动点,连结$DE$,$F$、$G分别是BC和DE$的中点,连结$AG$、$FG$,当$AG = FG$时,线段$DE$的长为( )。

A.$\sqrt{13}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{41}}{2}$
D.$4$

答案： A