《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 8 $,$ BC = 4 $,$ CA = 6 $,$ CD // AB $,$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线,$ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,求 $ AE $ 的长.

答案：
∵ BD为$∠ABC$的平分线,
$\therefore ∠ABD=∠CBD.$
$\because AB// CD,$
$\therefore ∠D=∠ABD.$
$\therefore ∠D=∠CBD.$
$\therefore BC=CD.$
$\because BC=4,$
$\therefore CD=4.$
$\because AB// CD,$
$\therefore \triangle ABE\backsim \triangle CDE.$
$\therefore \frac {AB}{CD}=\frac {AE}{CE}.$
$\therefore \frac {8}{4}=\frac {AE}{CE}.$
$\therefore AE=2CE.$
$\because AC=6=AE+CE,$
$\therefore AE=4.$

如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ BC $ 的中点,连结 $ AE $,过点 $ E $ 作 $ EF \perp AE $,交 $ DC $ 于点 $ F $. 若 $ AB = 4 $,$ BC = 6 $,求 $ DF $ 的长.

答案：
∵ 四边形ABCD为矩形,
$\therefore ∠B=∠C=90^{\circ },CD=AB=4.$
$\therefore ∠BAE+∠AEB=90^{\circ }.$
$\because EF⊥AE,$
$\therefore ∠AEF=90^{\circ }.$
$\therefore ∠AEB+∠CEF=90^{\circ }.$
$\therefore ∠BAE=∠CEF.$
$\therefore \triangle BAE\backsim \triangle CEF.$
$\therefore AB:CE=BE:CF.$
∵ E是BC的中点,$BC=6,$
$\therefore BE=CE=3.$
$\because AB=4,$
$\therefore 4:3=3:CF.$
解得$CF=\frac {9}{4}.$
$\therefore DF=CD-CF=4-\frac {9}{4}=\frac {7}{4}.$

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ AB $ 边上,点 $ E $ 在 $ AC $ 边上,且 $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $,则下列结论不正确的是( ).

A.$ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $
B.$ \triangle ADE \backsim \triangle ACD $
C.$ \triangle ADE \backsim \triangle EDC $
D.$ \triangle ABC \backsim \triangle ACD $

答案： C

2. 如图,$ \angle B = \angle D $,$ \angle 1 = \angle 2 $. 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $.

答案： $\because ∠1=∠2,$
$\therefore ∠1+∠CAD=∠2+∠CAD.$
$\therefore ∠BAC=∠DAE.$
又$\because ∠B=∠D,$
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle ADE.$