《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

20. (10 分)已知关于$x的一元二次方程x^{2} - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$($k$为常数).
(1)求证：不论$k$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的一个根为 3,求$k$的值和方程的另一个根.

答案：
(1)$\Delta=[-(k+2)]^{2}-4(2k-1)=k^{2}+4k+4-8k+4=k^{2}-4k+4+4=(k-2)^{2}+4$,
∵ $(k-2)^{2}\geq0$,
∴ $\Delta＞0$.
∴ 该方程总有两个不相等的实数根.
(2)
∵ 方程的一个根为3,
∴ $9-3(k+2)+2k-1=0$.
解得k=2.
∴ 方程为$x^{2}-4x+3=0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=1$.
∴ 另一个根为1.

21. (8 分)某造纸厂为了节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂 3、4 月份共生产再生纸 800 吨,其中 4 月份再生纸产量是 3 月份的 2 倍少 100 吨.
(1)求 4 月份再生纸的产量.
(2)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1000 元,5 月份再生纸产量比上月增加$m\%$,5 月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$,则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元,求$m$的值.
(3)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1200 元,4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率与 6 月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6 月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%,求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元？

答案：
(1)设3月份再生纸的产量为x吨,则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨,根据题意,得
x+2x-100=800.
解得x=300.
∴ 2x-100=2×300-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)根据题意,得
$1000\left(1+\frac{m\%}{2}\right)×500(1+m\%)=660000$.
整理,得$m^{2}+300m-6400=0$.
解得$m_{1}=20,m_{2}=-320$(不符合题意,舍去).
答:m的值为20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,根据题意,得
$1200(1+y)^{2}\cdot a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)\cdot a$.
整理,得$(1+y)^{2}=1.25$.
∴ $1200(1+y)^{2}=1500$.
答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.