《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

5. 一个长方形的长 $ a $ 为 $ \sqrt{24} \, cm $,宽 $ b $ 为 $ \sqrt{6} \, cm $,求这个长方形的面积。

答案： $S=ab=\sqrt{24}×\sqrt{6}=\sqrt{24×6}=12(cm^{2})$.

6. 计算：
(1) $ \frac{1}{2}\sqrt{18} × 3\sqrt{2} $。
(2) $ -\sqrt{27} × 3\sqrt{8} × \frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{\frac{1}{2}} $。

答案：
(1)9
(2)-27

7. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为 $ \sqrt{5} $,$ 4\sqrt{5} $,求这个直角三角形的面积。

答案： 10

8. (1) 验证下列各式是否成立：
$\begin{aligned}2\sqrt{\frac{2}{3}} &= \sqrt{2 + \frac{2}{3}}, \\3\sqrt{\frac{3}{8}} &= \sqrt{3 + \frac{3}{8}}, \\4\sqrt{\frac{4}{15}} &= \sqrt{4 + \frac{4}{15}}, ……\\& \end{aligned}\\& $
(2) 请你猜想： $ a\sqrt{\frac{a}{a^2 - 1}} = $______ $ (a ＞ 0, a \neq 1) $,并验证你的猜想。

答案：
(1)成立，过程略.
(2)$\sqrt{a+\dfrac{a}{a^{2}-1}}$ 验证：$a\sqrt{\dfrac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{\dfrac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{a^{2}\cdot\dfrac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\dfrac{a^{3}}{a^{2}-1}}=\sqrt{\dfrac{a^{3}-a+a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\dfrac{a^{3}-a}{a^{2}-1}+\dfrac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{\dfrac{a(a^{2}-1)}{a^{2}-1}+\dfrac{a}{a^{2}-1}}=\sqrt{a+\dfrac{a}{a^{2}-1}}$.

9. 数学史：
我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边,求它的面积；古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”。请借助网络平台了解相关知识。

答案： 答题（以下为答题卡内容）：
三斜求积术：
若三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，设$p=\frac{a + b + c}{2}$（半周长），则三角形面积$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（与海伦公式本质相同）。
秦九韶“三斜求积术”公式为$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2}c^{2}-\left(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$。
海伦公式：
若三角形三边为$a$、$b$、$c$，半周长$s=\frac{a + b + c}{2}$，其面积$A=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$。