《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

2. 在用求根公式 $x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了 $a$、$b$、$c$ 的值得到 $x= \frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}$,则她求解的一元二次方程是( ).

A.$2x^{2}-3x-1 = 0$
B.$2x^{2}+4x-1 = 0$
C.$-x^{2}-3x + 2 = 0$
D.$3x^{2}-2x + 1 = 0$

答案： A

3. 小明在解方程 $x^{2}-4x = 2$ 时出现了错误,解答过程如下：
$\because a = 1,b= -4,c= -2$, 第一步
$\therefore b^{2}-4ac= (-4)^{2}-4×1×(-2)= 24$. 第二步
$\therefore x= \frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}$. 第三步
$\therefore x_{1}= -2+\frac{\sqrt{24}}{2},x_{2}= -2-\frac{\sqrt{24}}{2}$. 第四步
小明解答过程开始出错的步骤是( ).

A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步

答案： C

4. 如下框图,通过此方法可将 $x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 转化为方程 $x^{2}+x - 1 = 0$,我们规定：方程 $x^{2}+x - 1 = 0$ 称为 $x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 的还原方程.
$x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
去分母,$2x= \sqrt{5}-1$.
移项,$2x + 1= \sqrt{5}$.
两边平方,得 $4x^{2}+4x + 1 = 5$.
整理,得 $x^{2}+x - 1 = 0$.
(1) $x= \frac{\sqrt{5}+3}{2}$ 的还原方程是______.
(2) 若 $x= \sqrt{5}-1$,则代数式 $x^{3}+3x^{2}-2x + 1= $______.

答案： 4.
(1)x²-3x+1=0
(2)5

5. 用配方法推导一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的求根公式时,对于 $b^{2}-4ac\gt0$ 的情况,嘉淇是这样做的：
$\because a\neq0$,
$\therefore$ 方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 可变形为
$x^{2}+\frac{b}{a}x= -\frac{c}{a}$, 第一步
$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}= -\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$, 第二步
$(x+\frac{b}{2a})^{2}= \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$, 第三步
$x+\frac{b}{2a}= \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{4a}(b^{2}-4ac\gt0)$, 第四步
$x= \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. 第五步
(1) 嘉淇的解法从第______步开始出现错误.
事实上,当 $b^{2}-4ac\gt0$ 时,方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的求根公式是______.
(2) 用配方法解方程：$x^{2}-2x-24 = 0$.

答案： 5.
(1)四 x=(-b±√(b²-4ac))/2a
(2)
∵x²-2x-24=0,
∴x²-2x+1=24+1.
∴(x-1)²=25.
∴x-1=±5.
∴x₁=6,x₂=-4.