《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

23. (12 分)如图,在矩形 $ ABCD $中,对角线 $ AC $、$ BD $相交于点 $ O $,$ E $为边 $ AD $的中点,连结 $ BE $,交 $ AC $于点 $ F $,且 $ BE\perp AC $,连结 $ DF $. 求证：
(1) $ DE^{2}= EF\cdot EB $.
(2) $ \triangle ABO\sim\triangle CFD $.

答案：
(1)
∵ 四边形$ABCD$是矩形,$BE\perp AC$,
∴ $\angle AFE=\angle BAE=90^{\circ}$.
∵ $\angle FEA=\angle AEB$,
∴ $\triangle FEA\backsim \triangle AEB$.
∴ $\frac{AE}{EB}=\frac{EF}{AE}$.
∴ $AE^{2}=EF\cdot EB$.
∵ $E$为边$AD$的中点,
∴ $AE=DE$.
∴ $DE^{2}=EF\cdot EB$.
(2)
∵ $DE^{2}=EF\cdot EB$,
∴ $\frac{DE}{EF}=\frac{EB}{DE}$.
∵ $\angle BED=\angle DEF$,
∴ $\triangle BED\backsim \triangle DEF$.
∴ $\angle EBD=\angle EDF$.
∵ $OB=OD=\frac{1}{2}BD$,$OC=OA=\frac{1}{2}AC$,且$BD=AC$,
∴ $OB=OC=OA$.
∴ $\angle OBC=\angle OCB$,$\angle OAB=\angle ABO$.
∵ $AD// BC$,$AB// CD$,
∴ $\angle OAD=\angle OCB$,$\angle OAB=\angle DCF$.
∴ $\angle OBC=\angle OAD$.
∴ $\angle OBC+\angle EBD=\angle OAD+\angle EDF$.
∴ $\angle CBF=\angle CFD$.
∵ $\angle BFC=\angle ABC=90^{\circ}$,
∴ $\angle CBF=\angle OAB=90^{\circ}-\angle ACB$.
∴ $\angle CBF=\angle ABO$.
∴ $\angle ABO=\angle CFD$.
∴ $\triangle ABO\backsim \triangle CFD$.