《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 如图,在某交叉路口,一货车在道路①的点 $ A $ 处等候“绿灯”,一辆轿车从被山峰 $ POQ $ 遮挡的道路②的点 $ B $ 处由南向北行驶。已知 $ \angle POQ = 30^{\circ} $,$ BC // OQ $,$ OC \perp OQ $,$ AO \perp OP $,线段 $ AO $ 的延长线交直线 $ BC $ 于点 $ D $。
(1) 求 $ \angle COD $ 的大小。
(2) 若在点 $ B $ 处测得点 $ O $ 在北偏西 $ \alpha $ 方向上,其中 $ \tan\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{5} $,$ OD = 12 m $,则该轿车至少行驶多少米才能发现点 $ A $ 处的货车？(设当该轿车行驶至点 $ D $ 处时,正好发现点 $ A $ 处的货车)

答案： 3.
(1)
∵ AO⊥OP,
∴ ∠POD=90°.
∵ ∠POQ=30°,
∴ ∠DOQ=∠POD - ∠POQ
=90° - 30°=60°.
∵ OC⊥OQ,
∴ ∠COQ=90°.
∴ ∠COD=∠COQ - ∠DOQ
=90° - 60°=30°.
(2)
∵ BC//OQ,
∴ ∠BCO=180° - ∠COQ=90°.
在Rt△COD中,∠COD=30°,OD=12,
∴ CD=1/2 OD=6.
∴ OC=√(OD² - CD²)
=√(12² - 6²)=6√3.
∵ tanα=tan∠OBC=√3/5=OC/BC,
∴ BC=OC/tanα=6√3/(√3/5)=30.
∴ BD=BC - CD=30 - 6=24.
∴ 轿车至少行驶24 m才能发现点A处的货车.

4. 某区域平面示意图如图,点 $ D $ 在河的右侧,红军路 $ AB $ 与某桥 $ BC $ 互相垂直。某校数学兴趣小组在“研学旅行”活动中,在 $ C $ 处测得点 $ D $ 位于西北方向,又在 $ A $ 处测得点 $ D $ 位于南偏东 $ 65^{\circ} $ 方向,另测得 $ BC = 414 m $,$ AB = 300 m $,求点 $ D $ 到 $ AB $ 的距离。(参考数据：$ \sin65^{\circ} \approx 0.91 $,$ \cos65^{\circ} \approx 0.42 $,$ \tan65^{\circ} \approx 2.14 $,精确到 $ 1 m $)

答案： 4.如图,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,则四边形EBFD是矩形.
设DE=x,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,
∵ tan∠DAE=DE/AE,
∴ AE=DE/tan∠DAE≈x/2.14.
∴ BE=AB - AE≈300 - x/2.14.
又BF=DE=x,
∴ CF=BC - BF=414 - x.
在Rt△CDF中,∠DFC=90°,∠DCF=45°,
∴ DF=CF=414 - x.
又BE=DF,
∴ 300 - x/2.14=414 - x.
解得x=214.
答:点D到AB的距离约为214 m.