《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

18.(6 分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)：如图,已知$\triangle ABC$,且$AB ＞ AC$.
(1)在 AB 边上求作点 D,使$DB = DC$.
(2)在 AC 边上求作点 E,使$\triangle ADE \sim \triangle ACB$.

答案：
(1)如图，点$D$即为所求。
(2)如图，点$E$即为所求。

19.(7 分)如图,嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜. 手电筒的灯泡在点 G 处,手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后,恰好经过木板的边缘点 F,落在墙上的点 E 处,点 E 到地面的高度$DE = 3.5m$,点 F 到地面的高度$CF = 1.5m$,灯泡到木板的水平距离$AC = 5.4m$,墙到木板的水平距离$CD = 4m$. 已知光在镜面反射中的反射角等于入射角,图中点 A、B、C、D 在同一水平面上. 求灯泡到地面的高度 AG.

答案： 根据题意，得$FC// DE$。则$\triangle BFC\backsim\triangle BED$。$\therefore\frac{BC}{BD} = \frac{FC}{DE}$，即$\frac{BC}{BC + 4} = \frac{1.5}{3.5}$。解得$BC = 3$。$\because AC = 5.4\ m$，$\therefore AB = 5.4 - 3 = 2.4(m)$。$\because$光在镜面反射中的反射角等于入射角，$\therefore\angle FBC = \angle GBA$。又$\because\angle FCB = \angle GAB$，$\therefore\triangle BGA\backsim\triangle BFC$。$\therefore\frac{AG}{AB} = \frac{FC}{BC}$。$\therefore\frac{AG}{2.4} = \frac{1.5}{3}$。解得$AG = 1.2$。答：灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ m$。

20.(10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B、C 重合),满足$∠DEF = ∠B$,且点 D、F 分别在边 AB、AC 上.
(1)求证：$\triangle BDE \sim \triangle CEF$.
(2)当点 E 移动到 BC 的中点时,求证：FE 平分$∠DFC$.

答案：
(1)$\because AB = AC$，$\therefore\angle B = \angle C$。$\because\angle BDE = 180^{\circ} - \angle B - \angle DEB$，$\angle CEF = 180^{\circ} - \angle DEF - \angle DEB$，又$\because\angle DEF = \angle B$，$\therefore\angle BDE = \angle CEF$。$\therefore\triangle BDE\backsim\triangle CEF$。
(2)$\because\triangle BDE\backsim\triangle CEF$，$\therefore\frac{BE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。$\because E$是$BC$的中点，$\therefore BE = CE$。$\therefore\frac{CE}{CF} = \frac{DE}{EF}$。$\therefore\frac{CE}{DE} = \frac{CF}{EF}$。$\because\angle DEF = \angle B = \angle C$，$\therefore\triangle DEF\backsim\triangle ECF$。$\therefore\angle DFE = \angle CFE$。$\therefore FE$平分$\angle DFC$。