《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 观察特殊锐角的三角函数值,你发现：当函数值相等时,它们的三角函数名称及角度各有什么特点？

答案： 当两个锐角互余时,一个角的正弦等于另一个角的余弦,即一锐角的正弦等于它余角的余弦。
也就是说:$\sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}$,$\cos60^{\circ}=\sin30^{\circ}$,$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}$

2. 观察特殊角的三角函数值,你发现：随着锐角 $ \alpha $ 的增大,所对应的三角函数值如何变化？

答案： 随着锐角$\alpha$的增大,$\sin\alpha$和$\tan\alpha$的值也逐渐增大,而$\cos\alpha$的值逐渐变小。

3. 已知一个锐角的三角函数值,你能求出这个锐角的大小吗？尝试完成下列填空：
(1) 若 $ \tan \alpha = \sqrt{3} $,则 $ \alpha = $ ______.
(2) 若 $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $,则 $ \alpha = $ ______.
(3) 若 $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $,则 $ \alpha = $ ______.

答案：
(1)$60^{\circ}$
(2)$45^{\circ}$
(3)$60^{\circ}$

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $,若三角形各边同时扩大至原来的 $ 3 $ 倍,则 $ \tan A $ 的值( ).

A.不变
B.扩大至原来的 $ 3 $ 倍
C.缩小为原来的 $ \frac{1}{3} $
D.不确定

答案： A

2. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ (2 \cos A - \sqrt{2})^2 + |1 - \tan B| = 0 $,则 $ \triangle ABC $ 一定是 ______.

答案： 等腰直角三角形

3. 求下列各式的值：
(1) $ \sin 45° \cos 45° + 3 \tan 30° \sin 60° $.
(2) $ \cos 60° - 2 \sin^2 45° + \frac{5}{3} \tan^2 60° - \sin 30° $.

答案：
(1)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$
$=2$.
(2)原式$=\frac{1}{2}-2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{5}{3}×(\sqrt{3})^{2}-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}-2×\frac{1}{2}+\frac{5}{3}×3-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}-1+5-\frac{1}{2}$
$=4$.

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} $,则( ).

A.$ \cos A = \frac{3}{5} $
B.$ \sin B = \frac{3}{5} $
C.$ \tan A = \frac{4}{3} $
D.$ \tan B = \frac{4}{3} $

答案： D