《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

4. 已知关于$x的方程kx^{2}-3x + 1 = 0$有实数根。
(1) 求$k$的取值范围。
(2) 若该方程的两个实数根分别为$x_{1}和x_{2}$,则当$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 4$时,求$k$的值。

答案：
(1)当$k=0$时,原方程为$-3x + 1 = 0$,解得$x=\frac{1}{3}.$
∴ $k=0$符合题意.当$k≠0$时,原方程为一元二次方程.
∵ 该一元二次方程有实数根,
∴ $\Delta =(-3)^{2}-4×k×1\geq 0.$解得$k\leq \frac{9}{4}.$综上所述,k的取值范围为$k\leq \frac{9}{4}.$
(2)
∵ $x_{1}$和$x_{2}$是方程$kx^{2}-3x + 1 = 0$的两个根,
∴ $x_{1}+x_{2}=\frac{3}{k},x_{1}x_{2}=\frac{1}{k}.$
∵ $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4,$
∴ $\frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4$,解得$k=1.$经检验,$k=1$是分式方程的解,且符合题意.
∴ k的值为1.

5. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(2m - 1)x - 3m^{2}+m = 0$。
(1) 求证：无论$m$为何值,方程总有实数根。
(2) 若$x_{1}$、$x_{2}$是方程的两个实数根,且$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}= -\frac{5}{2}$,求$m$的值。

答案：
(1)
∵ $\Delta $$=[-(2m - 1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)$$=4m^{2}-4m + 1 + 12m^{2}-4m$$=16m^{2}-8m + 1$$=(4m - 1)^{2}\geq 0,$
∴ 方程总有实数根.
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=2m - 1,x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m.$
∵ $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$$=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$$=-\frac{5}{2},$
∴ $\frac{(2m - 1)^{2}-2(-3m^{2}+m)}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}.$整理,得$5m^{2}-7m + 2 = 0.$解得$m_{1}=1,m_{2}=\frac{2}{5}.$

6. 阅读材料,回答问题：
材料一：若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)的两个根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$。
材料二：已知一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0的两个实数根分别为m$、$n$,求$m^{2}n + mn^{2}$的值。
解：∵ 一元二次方程$x^{2}-x - 1 = 0的两个实数根分别为m$、$n$,
∴ $m + n = 1$,$mn = -1$。
∴ $m^{2}n + mn^{2}= mn(m + n)= -1×1= -1$。
(1) 材料理解：若一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0的两个根分别为x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______。
(2) 类比应用：已知一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0的两个根分别为m$、$n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
(3) 思维拓展：已知实数$s$、$t满足2s^{2}-3s - 1 = 0$,$2t^{2}-3t - 1 = 0$,且$s\neq t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值。

答案： 6.
(1)$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$
(2)
∵ 一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的两个根分别为m、n,
∴ $m + n=\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2}.$
∴ $\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}.$
(3)
∵ 实数s、t满足$2s^{2}-3s - 1 = 0$,$2t^{2}-3t - 1 = 0$,且$s≠t$,
∴ s与t可以看做方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的两个实数根.
∴ $s + t=\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}.$
∴ $(s - t)^{2}=(s + t)^{2}-4st=(\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}.$
∴ $s - t=\pm \frac{\sqrt{17}}{2}.$
∴ $\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{-(s - t)}{st}=\frac{\pm \frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm \sqrt{17}.$