《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ BC = 12 $,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ E $ 为 $ AC $ 的中点,$ DE = 5 $,则 $ AD = $( ).

A.10
B.8
C.6
D.4

答案： B

3. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图 1),是我国古代的农用工具,始见于《墨子·备城门》,是一种利用杠杆原理的取水机械. 桔槔示意图如图 2 所示,$ OM $ 是垂直于水平地面的支撑杆,$ OM = 3\ m $,$ AB $ 是杠杆,$ AB = 6\ m $,$ OA:OB = 2:1 $,当点 $ A $ 位于最高点时,$ \angle AOM = 120^{\circ} $,此时,点 $ A $ 到地面的距离为( ).

A.$ (2\sqrt{3} + 3)\ m $
B.$ 5\ m $
C.$ 6\ m $
D.$ 7\ m $

答案： B

4. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = 2 $,$ D $ 是 $ AB $ 的中点,连结 $ CD $,将 $ \triangle BCD $ 沿射线 $ CA $ 的方向平移,在平移过程中,$ \triangle BCD $ 的边 $ CD $ 与 $ Rt \triangle ABC $ 的边 $ AB $、$ AC $ 分别交于点 $ E $、$ F $,则当 $ \triangle AEF $ 的面积是 $ Rt \triangle ABC $ 面积的 $ \frac{1}{4} $ 时,$ \triangle BCD $ 平移的距离是____.

答案： $2-\sqrt{2}$

如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A = 30^{\circ} $,$ AB = 4\ cm $,动点 $ P $、$ Q $ 同时从 $ A $、$ B $ 两点出发,分别在边 $ AB $、$ BC $ 上匀速移动,它们的速度分别为 $ v_{P} = 2\ cm/s $,$ v_{Q} = 1\ cm/s $,当点 $ P $ 到达点 $ B $ 时,$ P $、$ Q $ 两点同时停止运动,设点 $ P $ 的运动时间为 $ t\ s $.
(1) 当 $ t $ 为何值时,$ \triangle PBQ $ 为等边三角形？
(2) 当 $ t $ 为何值时,$ \triangle PBQ $ 为直角三角形？
]

答案：
(1)当$t=\frac{4}{3}$时,$\triangle PBQ$为等边三角形.
(2)当$t=\frac{8}{5}$或$t=1$时,$\triangle PBQ$为直角三角形.