《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 运用直接开平方法解一元二次方程的条件是______.

答案： 答题卡：
方程能化为形如$x^{2} = p（p \geq 0）$或$(mx + n)^{2} = p（m\ne 0，p \geq 0）$的形式。

2. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？

答案： 1.将方程右边化为零：通过移项，使得一元二次方程的一边为零，形式为$ax^{2} + bx + c = 0$；
2.对左边的二次多项式进行因式分解：采用合适的因式分解方法（如提公因式法、公式法、十字相乘法等），将二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，形式为$(mx + n)(px + q) = 0$；
3.求解一次方程：根据因式分解结果，分别令每个一次多项式为零，得到两个一元一次方程$mx + n = 0$和$px + q = 0$；
4.得出原方程的解：分别求解这两个一元一次方程，得到的解即为原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？其关键是什么？

答案： 基本步骤：
1. 化二次项系数为1，方程两边同除以二次项系数；
2. 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
3. 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；
4. 开平方，根据平方根的意义，方程两边开平方；
5. 求解，解一元一次方程得到原方程的解。
关键：配方，即使方程左边成为一个完全平方式。

4. 一元二次方程的求根公式是______,它的应用条件是______.

答案： $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；$a\neq0$且$b^{2}-4ac\geq0$

1. 解下列方程：
(1) $ (x - 5)^{2}= 16 $.
(2) $ 3x^{2}+4x - 1 = 0 $.
(3) $ (2x - 1)^{2}= 2(2x - 1) $.
(4) $ (x - 3)(x + 2)= 6 $.

答案： 1.
(1)$(x-5)^{2}=16$
$\therefore\quad x-5=4$或$x-5=-4$.
$\therefore\quad x_{1}=9,x_{2}=1$.
(2)$3x^{2}+4x-1=0$
$\because\quad a=3,b=4,c=-1$
$\therefore\quad \Delta=b^{2}-4ac$
$=16-4×3×(-1)$
$=28＞0$.
$\therefore\quad x=\dfrac{-4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{7}}{3}$.
$\therefore\quad x_{1}=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3}$.
(3)$(2x-1)^{2}=2(2x-1)$
整理,得$(2x-1)^{2}-2(2x-1)=0$,即$(2x-1)(2x-1-2)=0$.
$\therefore\quad 2x-1=0$或$2x-1-2=0$.
$\therefore\quad x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=\dfrac{3}{2}$.
(4)$(x-3)(x+2)=6$
整理,得$x^{2}-x-12=0$,
即$(x-4)(x+3)=0$.
$\therefore\quad x_{1}=4,x_{2}=-3$.

2. 古巴比伦挖掘出的泥版中,记载着一元二次方程正数解的几何解法,现以解方程 $ x(x + 10)= 375 $ 为例说明：如图 1,构造一个边长为 $ x $ 的正方形,加上一个长为 $ x $,宽为 $ 10 $ 的长方形；再将右边的长方形剪成 $ 2 $ 个宽为 $ 5 $ 的长方形,拼成边长为 $ x + 5 $ 的大正方形,如图 2 所示,则大正方形的面积为 $ 375 + 25 = 400 $,即可求得 $ x = 15 $. 小明用此几何法解关于 $ x $ 的方程 $ x(x + p)= q $,若假设图 1 中正方形的面积为 $ 81 $,图 2 中大正方形的面积为 $ 144 $,则 $ p = $______,$ q = $______.

答案： 2.6 135

3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + k - 6 = 0 $.
(1) 若方程的一个根为 $ x = - 1 $,求 $ k $ 的值.
(2) 若 $ k = 1 $,解此方程.

答案： 3.
(1)把$x=-1$代入方程$x^{2}-6x+k-6=0$,得$1+6+k-6=0$.
解得$k=-1$.
(2)当$k=1$时,方程化为$x^{2}-6x-5=0$.
$\because\quad a=1,b=-6,c=-5$
$\therefore\quad \Delta=(-6)^{2}-4×1×(-5)$
$=56＞0$.
$\therefore\quad x=\dfrac{6\pm2\sqrt{14}}{2×1}=3\pm\sqrt{14}$.
$\therefore\quad x_{1}=3+\sqrt{14},x_{2}=3-\sqrt{14}$.