《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

3. 木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔,位于海南岛的最北端,是海南岛东北部最重要的航标。某天,一艘渔船自西向东(沿 $ AC $ 方向)以每小时 $ 10 $ 海里的速度在琼州海峡航行,如图所示。
航行记录
记录一：上午 $ 8 $ 时,渔船到达木兰灯塔 $ P $ 北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向上的 $ A $ 处。
记录二：上午 $ 8 $ 时 $ 30 $ 分,渔船到达木兰灯塔 $ P $ 北偏西 $ 45^{\circ} $ 方向上的 $ B $ 处。
记录三：根据气象观测,当天凌晨 $ 4 $ 时到上午 $ 9 $ 时,受天文大潮和天气影响,琼州海峡 $ C $ 点周围 $ 5 $ 海里内,会出现异常海况。点 $ C $ 位于木兰灯塔 $ P $ 北偏东 $ 15^{\circ} $ 方向上。
请你根据以上信息解决下列问题：
(1) $ \angle PAB = $______$ ^{\circ} $,$ \angle APC = $______$ ^{\circ} $,$ AB = $______海里。
(2) 若该渔船不改变航线与速度,是否会进入“海况异常区”,请计算说明。
(参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.41 $,$ \sqrt{3} \approx 1.73 $,$ \sqrt{6} \approx 2.45 $)

答案： 3.
(1)30 75 5
(2)如图,过点P作PD⊥AC,垂足为点D.
设PD为x海里,
在Rt△BPD中,∠BPD=45°,
∴ ∠PBD=45°.
∴ BD=PD=x.
在Rt△APD中,∠APD=60°,
∴ ∠A=30°,tan∠APD=AD/PD=√3,cos∠APD=PD/AP=1/2.
∴ AD=√3 PD,AP=2PD.
∵ AB=AD - BD,
∴ 5=√3 PD - PD.
∴ PD=BD=5/2(√3 + 1).
∴ AP=2PD=5(√3 + 1)
≈13.65.
在△APC中,∠A=30°,∠APC=75°,
∴ ∠C=180° - ∠A - ∠APC=75°.
∴ ∠C=∠APC.
∴ AC=AP≈13.65.
设上午9时渔船航行至E处,
则AE=10.
∴ CE=AC - AE≈3.65 ＜ 5.
∴ 该渔船会进入“海况异常区”.

时代中学组织学生进行红色研学活动。如图,学生到达爱国主义教育基地后,先从基地门口 $ A $ 处向正南方向走 $ 300 m $ 到达革命纪念碑 $ B $ 处,再从 $ B $ 处向正东方向走到党史纪念馆 $ C $ 处,然后从 $ C $ 处向北偏西 $ 37^{\circ} $ 方向走 $ 200 m $ 到达人民英雄雕塑 $ D $ 处,最后从 $ D $ 处回到 $ A $ 处。已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 $ 65^{\circ} $ 方向,求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离。(精确到 $ 1 m $,参考数据：$ \sin37^{\circ} \approx 0.60 $,$ \cos37^{\circ} \approx 0.80 $,$ \tan37^{\circ} \approx 0.75 $,$ \sin65^{\circ} \approx 0.91 $,$ \cos65^{\circ} \approx 0.42 $,$ \tan65^{\circ} \approx 2.14 $)

答案： 如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
根据题意,得
∠CDF=37°,CD=200.
在Rt△CDF中,
sin∠CDF=CF/CD=sin37°≈0.60,
cos∠CDF=DF/CD=cos37°≈0.80,
∴ CF≈200×0.60=120,
DF≈200×0.80=160.
∵ AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB,
∴ ∠B=∠DFB=∠DEB=90°.
∴ 四边形BFDE是矩形.
∴ BF=DE,BE=DF=160.
∴ AE=AB - BE=300 - 160
=140.
在Rt△ADE中,
tan∠DAE=DE/AE=tan65°≈2.14,
∴ DE≈AE×2.14=140×2.14
=299.6.
∴ BF=DE≈299.6.
∴ BC=BF + CF=299.6 + 120
≈420.
答:革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420 m.

在关于方位角的应用问题中,应注意以下几点：
1. 正确画出方位角。
2. 借助方位角构造______三角形。
3. 合理转化方位角。

答案： 2.借助方位角构造直角三角形。