《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册华师大版》

1. 如图,有一张长 $ 12 \, cm $、宽 $ 9 \, cm $ 的矩形纸片,在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒。若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 $ 70 \, cm^2 $,求剪去的小正方形的边长。设剪去的小正方形的边长是 $ x \, cm $,根据题意,可列方程为( )。

A.$ 12 × 9 - 4 × 9x = 70 $
B.$ 12 × 9 - 4x^2 = 70 $
C.$ (12 - x)(9 - x) = 70 $
D.$ (12 - 2x)(9 - 2x) = 70 $

答案： D

2. 某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚,其中一面靠院墙,如图 1,这堵院墙的长度为 $ 10 \, m $。已知现有的木板材料(图中细线部分)可新建围墙 $ 26 \, m $,同时在与院墙平行的一面开一个 $ 2 \, m $ 宽的门,设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为 $ a \, m $。
(1) 求与墙平行的一边长为多少米？(用含 $ a $ 的代数式表示)
(2) 当 $ a = 10 $ 时,为了方便职工通行,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图 2 中灰色阴影区域),使得停放电动车的空白面积为 $ 54 \, m^2 $,那么小路的宽度是多少米？
]

答案：
(1)与墙平行的一边长为$(26+2)-2a=(28-2a)m.$
(2)当$a = 10$时,$28-2a=28-2×10=8(m).$
设小路的宽为x m,根据题意,得$(10-x)(8-2x)=54.$
整理,得$x^{2}-14x+13=0.$
解得$x_{1}=13＞10$(舍去),$x_{2}=1.$
答:小路的宽为1m.

某人承包了一块长方形果园 $ ABCD $,如图是果园的平面图,其中 $ AB = 200 \, m $,$ BC = 300 \, m $。他准备在果园的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为 $ 2x \, m $,左右两条纵向道路的宽度都为 $ x \, m $,中间部分种植水果。出于货车通行等因素的考虑,道路宽度 $ x $ 不超过 $ 12 \, m $,且不小于 $ 5 \, m $。
经市场调查,某种草莓销售前景比较不错,且草莓培育一年可产果。种植成熟后,每平方米的草莓销售平均利润为 $ 100 $ 元,且每月可销售 $ 5000 \, m^2 $ 的草莓。现由于天气原因,为了快速将草莓出手,该人决定降价。若每平方米草莓平均利润下调 $ 4 $ 元,则每月可多销售 $ 500 \, m^2 $ 草莓,已知果园每月的承包费为 $ 2 $ 万元。
(1) 请直接写出纵向道路宽度 $ x $ 的取值范围。
(2) 若中间种植园区的面积是 $ 44800 \, m^2 $,则路面设置的宽度是否符合要求。
(3) 若该人预期的一个月总利润为 $ 55.2 $ 万元,则从购买草莓客户的角度考虑,每平方米草莓平均利润应降价多少元？
]

答案：
(1)根据题意,得$5≤x≤12.$
(2)根据题意,得$(300-2x)(200-2×2x)=44800.$
整理,得$x^{2}-200x+1900=0.$
解得$x_{1}=10,x_{2}=190$(不符合题意,舍去).
∵$5≤x≤12,$
∴ 路面设置的宽度符合要求.
(3)设每平方米草莓平均利润应降价y元,根据题意,得$(100-y)(5000+500×\frac {y}{4})-20000=552000.$
整理,得$y^{2}-60y+576=0.$
解得$y_{1}=12,y_{2}=48.$
又
∵ 要让利于顾客,
∴$y=48.$
答:每平方米草莓平均利润应降价48元.